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第一编 数论编3

第一章 麦比乌斯函数的提出与性质3

1 一道美国数学奥林匹克试题3

2 麦比乌斯其人5

3 麦比乌斯函数的提出6

4 一道涉及麦比乌斯函数的国家集训队试题8

5 曼戈尔特函数∧（n）12

6 麦比乌斯函数的两个简单性质13

7 麦比乌斯函数的积性14

8 麦比乌斯反演定理17

9 麦比乌斯反演公式的推广18

10 麦比乌斯变换的多种形式19

第二章 应用举例21

1 麦比乌斯函数与分圆多项式21

2 麦比乌斯变换与概率23

3 麦比乌斯函数与序列密码学28

4 麦比乌斯函数与数的几何29

5 麦比乌斯函数与数论函数的计算和估计32

6 麦比乌斯函数与算术级数中的缩集39

第三章 练习与征解问题44

1 几个简单练习44

2 一组例题45

3 三个《美国数学月刊》征解问题48

4 两个稍难问题53

5 一组练习题57

第四章 麦比乌斯函数在解析数论中的应用61

1 解析数论是数论吗61

2 埃拉托塞尼筛法62

3 麦比乌斯函数与π（x）的上界估计64

4 麦比乌斯函数与三角和估计66

5 哈代与麦比乌斯变换69

6 一个解析数论引理的证明70

7 麦比乌斯变换与数论函数的均值71

8 解析数论中的几个涉及麦比乌斯函数的引理79

9 麦比乌斯函数与迪利克雷级数81

10 数论函数的贝尔级数85

11 麦比乌斯变换与切比雪夫定理89

12 麦比乌斯变换与素数定理91

13 麦比乌斯函数与黎曼猜想92

14 麦比乌斯函数与哥德巴赫猜想96

15 王元得到的关于整值多项式的某些性质97

16 谢盛刚得到的关于三生殆素数的分布的结果104

17 麦比乌斯变换与埃尔朗根纲领107

第五章 短区间中的达文波特定理120

1 结果的陈述120

2 若干引理122

3 定理3的证明123

4 定理4的证明129

第二编 组合编135

第六章 麦比乌斯反演公式135

1 近代组合学中的麦比乌斯反演135

2 用麦比乌斯反演公式解可重圆排列的计数问题136

3 数列的反演公式141

4 高斯系数与麦比乌斯反演143

5 兰伯特级数与麦比乌斯函数144

6 米塔-列夫勒多项式146

第七章 麦比乌斯反演公式的应用148

1 麦比乌斯反演与编码理论148

2 麦比乌斯变换与跳频通信149

3 麦比乌斯变换与有限典型群152

4 麦比乌斯反演与图论154

5 互反μ函数偶与一般的反演公式154

6 合流与切比雪夫多项式156

7 波赫哈默尔-巴恩斯合流超几何函数156

8 Fq［x］中不可约多项式的计数公式160

第八章 偏序集上的麦比乌斯反演与组合计数163

1 贝尔热论麦比乌斯反演163

2 有限偏序集的麦比乌斯反演公式169

3 计算麦比乌斯函数的技巧171

4 格及其麦比乌斯代数177

5 半模格的麦比乌斯函数179

6 ζ多项式182

7 秩选取183

8 R-标号185

9 偏序集上的麦比乌斯反演公式188

第九章 麦比乌斯函数与非线性移位寄存器205

1 麦比乌斯函数与非奇异移位寄存器205

2 两个简单的移位寄存器的分析210

3 非线性移位寄存器序列215

4 非奇异移位寄存器216

5 非线性移位寄存器的剪接理论218

6 n-级纯轮换与反轮换非线性移位寄存器220

第十章 密码学与凝聚态物理223

1 麦比乌斯平面与消息认证码223

2 麦比乌斯变换与凝聚态物理224

3 量子物理学中的反演公式227

第十一章 反演公式与麦比乌斯函数231

1 第一反演公式231

2 布置的格式数234

3 偏序关系与麦比乌斯函数236

4 麦比乌斯反演的一个应用——环状字的计数245

5 习题247

第十二章 表示论中的麦比乌斯反演公式250

1 线性表示的定义和例子250

2 练习256

第十三章 反演公式的矩阵形式258

1 三个初等反演公式258

2 局部有限偏序集上的麦比乌斯反演公式261

第三编 几何编265

第十四章 平面几何中的麦比乌斯问题265

1 一道美国数学竞赛中的平面几何题267

2 麦比乌斯命题270

3 一个加强命题271

第十五章 复数的几何274

1 高斯（或复）平面280

2 复平面中的圆283

3 麦比乌斯变换群284

4 一道普特南竞赛题285

5 保圆映照287

6 等角变换288

7 无穷远点289

8 黎曼球面290

9 交比291

10 关于圆的反射296

11 圆之位置及大小的确定299

12 圆束301

13 由两个反射产生的麦比乌斯变换303

14 将一般的麦比乌斯变换表示为关于圆的反演之积304

第十六章 欧氏几何、球面几何和非欧几何308

1 圆丛308

2 圆丛的圆之方程309

3 关于一个丛中圆的反演的积310

4 欧氏几何、球面几何以及非欧几何的刚体运动311

5 距离不变式313

6 球面三角316

7 麦比乌斯与球面三角的历史321

8 非欧三角331

9 球面几何335

10 椭圆几何336

11 球面的转动338

12 非欧几何340

13 非欧运动342

14 庞加莱半平面345

15 弦和准弦距离346

第十七章 麦比乌斯变换和反演349

1 引言349

2 反演351

3 反演应用的三个例子362

4 黎曼球面364

5 麦比乌斯变换的基本结果372

6 麦比乌斯变换作为矩阵380

7 可视化与分类386

8 分解为两个或四个反射394

9 单位圆盘的自同构398

10 补偿列紧理论与气体动力学方程组中的复数变换402

11 习题405

第十八章 麦比乌斯变换与希尔伯特的第22个问题413

1 引言413

2 黎曼曲面414

3 富克斯群417

4 一般的单值化定理418

5 克莱因群420

6 拟共形映照421

7 克莱因群的拟共形变形424

8 克贝群426

9 麦比乌斯变换与塞尔猜想428

第四编 复分析和拓扑编433

第十九章 关于几道培训题的高等背景433

1 引言433

2 几道数学竞赛培训题433

3 麦比乌斯变换与保角变换434

4 一道西德竞赛题436

5 施瓦兹引理438

6 同时代的两位施瓦兹439

7 一个伯克利问题440

8 中国大学生夏令营试题441

9 与非欧几何的联系444

10 与多复变函数论的联系446

11 复函数的逼近447

12 与插值问题的联系448

13 麦比乌斯变换在低阶占优不等式中的应用448

第二十章 线性变换与罗巴切夫斯基几何452

1 罗巴切夫斯基几何在圆上的欧几里得图象452

2 给定附标的两点间的非欧距离的计算法454

3 非欧几里得圆周455

4 曲线的非欧长度455

5 非欧几里得面积456

6 远环456

7 超环457

8 罗巴切夫斯基几何在半平面上的欧几里得图象458

第二十一章 再谈保形映射460

1 线性映象460

2 圆的性质463

3 共轭点的不变性464

4 确定分式线性映象的条件466

5 特殊情形468

6 共形映象理论的一般原理470

7 习题472

第二十二章 麦比乌斯变换与调和函数的几何理论474

1 引言474

2 旧事重提474

3 实数形式478

4 单位球的几何学479

5 微分度量481

6 微分算子482

7 球坐标484

8 泊松公式487

9 建议了些什么489

10 对称原理491

11 拉普拉斯方程的不变性493

第二十三章 麦比乌斯变换揭秘496

1 引言496

2 函数的可视化497

3 麦比乌斯变换500

4 麦比乌斯变换揭秘502

5 麦比乌斯变换与比伯巴赫猜想506

第二十四章 麦比乌斯变换与代数函数的迭代511

1 代数函数的复合511

2 分支点处的复合512

3 迭代516

4 麦比乌斯变换下的共轭516

5 黎曼球面上的动力系统517

第二十五章 麦比乌斯变换与施瓦兹导数522

1 施瓦兹导数的来源522

2 由另一种观点导出施瓦兹导数524

3 第三种观点525

4 几何的角度526

5 施瓦兹导数的重要性质528

6 亚纯函数与麦比乌斯变换的偏离531

第二十六章 关于麦比乌斯变换的一点注记535

1 引言535

2 多复变复超球上的麦比乌斯变换536

3 复超球上全纯函数在麦比乌斯变换下的展开537

4 复超球上全纯映照在麦比乌斯变换下的展开541

5 实超球上解析函数在实射影变换下的展开544

6 实超球上解析函数在非欧运动变换下的展开545

第二十七章 麦比乌斯与拓扑学550

1 引子550

2 拓扑学第一人554

3 麦比乌斯带554

4 莫斯科的麦比乌斯带555

5 阿诺德的可视化作品556

6 各领域中的麦比乌斯带556

7 单侧边的麦比乌斯带560

8 麦比乌斯传动带561

9 麦比乌斯棋盘561

10 麦比乌斯迷宫562

11 麦比乌斯电阻562

12 沿中线切开的麦比乌斯带563

13 麦比乌斯带分割的圆环564

14 麦比乌斯带分割的麦比乌斯雕塑564

15 麦比乌斯分子565

16 未解决的问题565

第二十八章 麦比乌斯带与代数几何——格列菲斯论麦比乌斯带567

1 一些简单的有边界的曲面567

2 进一步考虑麦比乌斯带569

3 习题570

第二十九章 制作复杂的曲面571

1 平面性区域571

2 添加耳朵572

3 非平面性曲面572

4 扭转的识别573

5 添加桥574

6 欧拉数574

7 克莱因瓶和投影平面575

第三十章 曲面族578

1 片和茧578

2 环族及其亲属580

3 平面性区域族和有柄球面族583

4 一般的规划图？p,q,r586

5 交换定理587

6 在？p,q,r上添加片590

7 识别曲面族的规则596

第三十一章 完成曲面族的普查598

1 引言598

2 一些代数598

3 基本定理599

4 p,q,r的计算600

5 曲面规划图的唯一性601

第三十二章 组合不变量603

1 重新镶拼一个纸曲面603

2 纸复形604

3 三角剖分605

4 关于片的不变性定理607

5 加细一种镶拼方式608

6 镶拼方式及其加细的欧拉数609

7 综合练习610

第三十三章 数学的统一性613

1 引言613

2 三个例子614

3 圆615

4 奇偶性617

5 模与丛618

6 丛与算子619

7 泛函分析619

8 结束语620

第三十四章 扭曲环带拓扑理论的研究622

1 基本概念及定义622

2 自然数列的扭曲环带的直观拓扑性质625

3 扭曲环带经分裂后扭曲数的变化633

4 偶数扭曲环带经分裂后环绕数与原环扭曲数的关系——互绕数的确定636

5 奇数扭曲环带经分裂后环绕数与原环扭曲数的关系638

6 扭曲环带的复合646

7 奇数扭曲环带和偶数扭曲环带之间的相互转换654

8 扭曲环带的特殊制作方法及其意义656

9 扭曲环带与有关学科的关系及其应用660

附录677

附录Ⅰ A Limit Problem Involving the F.Smarandache Square Complementary677

1 Introduction and Results677

2 Proof of the Theorem678

附录Ⅱ Schwarz's Lemma and Pick's Theorem680

1 Schwarz's Lemma680

2 Pick's Theorem684

参考文献690

编后语693