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第1章　函数的概念1

1.1 函数1

1.1.1　常量与变量、区间与邻域1

1.1.2　函数的概念2

1.1.3　函数的特性4

1.1.4　反函数5

1.2　初等函数6

1.2.1　基本初等函数6

1.2.2　复合函数6

1.2.3　初等函数7

1.3　数学模型方法简介7

1.3.1 数学模型7

1.3.2　数学建模8

1.3.3　数学建模的意义8

1.3.4　数学建模的方法与过程8

1.3.5　数学建模举例10

1.4　数学实验：Mathematica中的函数定义及一元函数作图13

1.4.1 自定义函数13

1.4.2　一元函数作图14

1.4.3　参数方程作图18

1.4.4　极坐标作图19

本章小结20

习题121

第2章　极限与连续22

2.1　极限的概念22

2.1.1　数列的极限22

2.1.2　函数的极限23

2.1.3　无穷小量25

2.1.4　无穷大量26

2.2　极限的性质与运算法则27

2.2.1 极限的四则运算法则28

2.2.2　两个重要极限29

2.2.3　无穷小量阶的比较30

2.3　函数的连续性与间断点31

2.3.1 函数的连续性定义32

2.3.2 函数的间断点及其分类33

2.3.3　初等函数的连续性34

2.3.4　闭区间上连续函数的性质35

2.4　数学实验：函数的极限36

2.4.1　观察函数的变化趋势36

2.4.2　极限的计算39

本章小结40

习题241

第3章　导数与微分44

3.1　导数的概念44

3.1.1　导数的概念44

3.1.2　基本导数公式49

3.1.3　可导与连续49

3.2　求导法则50

3.2.1　导数的四则运算50

3.2.2　复合函数的求导法则51

3.2.3　初等函数的导数52

3.2.4　三个求导方法52

3.3　高阶导数54

3.4　微分55

3.4.1　微分的概念55

3.4.2　微分的几何意义56

3.4.3　微分的基本公式及其运算法则56

3.4.4　微分在近似计算中的应用58

3.5　数学实验：导数与微分59

3.5.1 观察函数在某一点的变化率59

3.5.2　导数与微分的计算59

本章小结61

习题362

第4章　导数的应用66

4.1 拉格朗日中值定理及函数的单调性66

4.1.1　拉格朗日中值定理66

4.1.2　函数的单调性68

4.2　函数的极值与最值70

4.2.1 函数的极值70

4.2.2　函数的最值73

4.3　函数图形的描绘75

4.3.1 曲线的凹凸性与拐点75

4.3.2　曲线的渐近线77

4.3.3　函数作图79

4.4　柯西中值定理与洛必达法则80

4.4.1　柯西中值定理80

4.4.2　洛必达法则81

4.5　数学实验：函数的极值与最值83

本章小结85

习题485

第5章　不定积分88

5.1 不定积分的概念88

5.1.1 原函数的概念88

5.1.2　不定积分的定义89

5.1.3　不定积分的几何意义89

5.1.4　不定积分的基本公式90

5.1.5　不定积分的性质91

5.1.6　直接积分法91

5.1.7　不定积分应用举例91

5.2　不定积分的换元积分法92

5.2.1 第一换元积分法（凑微分法）92

5.2.2　第二换元积分法94

5.3　不定积分的分部积分法96

本章小结98

习题599

第6章　定积分101

6.1 定积分的概念和性质101

6.1.1　定积分问题举例101

6.1.2　定积分的定义103

6.1.3　定积分的几何意义104

6.1.4　定积分的性质105

6.2　积分基本公式107

6.2.1　变上限函数及其导数107

6.2.2　牛顿-莱布尼茨公式108

6.3　定积分的计算方法109

6.3.1 定积分的换元积分法109

6.3.2　定积分的分部积分法111

6.4　广义积分112

6.4.1 积分区间为无穷区间的广义积分112

6.4.2　被积函数为无界函数的广义积分113

6.5　数学实验：积分计算114

本章小结115

习题6116

第7章　定积分的应用119

7.1　定积分的微元法119

7.2　定积分在几何上的应用120

7.2.1　平面图形的面积120

7.2.2　旋转体的体积122

7.2.3　平面曲线的弧长123

7.3　定积分在物理上的应用125

7.3.1　引力125

7.3.2　功125

本章小结127

习题7127

第8章　微分方程128

8.1 微分方程的基本概念与分离变量法128

8.1.1　微分方程的基本概念128

8.1.2　分离变量法129

8.2　一阶线性微分方程131

8.2.1 一阶齐次线性微分方程的解法131

8.2.2　一阶非齐次线性方程的解法133

8.3　二阶常系数线性微分方程135

8.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构135

8.3.2　二阶常系数齐次线性微分方程的解法135

8.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程137

8.4　数学实验：常微分方程138

本章小结140

习题8141

第9章 向量与空间解析几何143

9.1 空间直角坐标系与向量的概念143

9.1.1 空间直角坐标系143

9.1.2 向量的概念及其运算145

9.2　向量的数量积与向量积148

9.2.1 向量的数量积148

9.2.2　两向量的向量积149

9.3　平面方程与空间直线方程151

9.3.1　平面方程151

9.3.2　空间直线方程152

9.4 曲面与空间曲线154

9.4.1 曲面方程的概念154

9.4.2　几种常见的二次曲面155

9.4.3 空间曲线及其在坐标面上的投影158

9.5　数学实验：向量运算及空间曲面160

9.5.1 向量的运算160

9.5.2　空间曲线与曲面161

本章小结165

习题9166

第10章　多元函数的微分学168

10.1 多元函数的概念：二元函数的极限和连续性168

10.1.1 多元函数的概念168

10.1.2　二元函数的极限169

10.1.3　二元函数的连续性170

10.2　偏导数171

10.2.1　偏导数的概念171

10.2.2　高阶偏导数173

10.3　全微分175

10.4 多元复合函数与隐函数的微分法176

10.4.1 多元复合函数求导法则176

10.4.2　隐函数的微分公式177

10.5　偏导数的应用179

10.5.1　偏导数的几何应用179

10.5.2　多元函数的极值181

10.6　数学实验：多元函数微分学183

10.6.1　二元函数的极限183

10.6.2　偏导数184

10.6.3　全微分184

本章小结185

习题10185

第11章　多元函数积分学187

11.1　二重积分的概念与性质187

11.1.1　二重积分的概念187

11.1.2　二重积分的性质188

11.2　二重积分的计算189

11.2.1 利用直角坐标系计算二重积分189

11.2.2　利用极坐标系计算二重积分192

11.3 二重积分的应用193

11.3.1 几何应用：求曲顶柱体的体积193

11.3.2　物理应用194

11.4　数学实验：多元函数积分学195

本章小结195

习题11196

第12章　无穷级数198

12.1　数项级数的概念和性质198

12.1.1　数项级数及其收敛性198

12.1.2　数项级数的基本性质201

12.2　正项级数及其判别法202

12.3　一般项级数205

12.3.1　交错级数205

12.3.2　绝对收敛与条件收敛206

12.4　幂级数207

12.4.1 函数项级数207

12.4.2　幂级数及其收敛性208

12.4.3　幂级数的运算210

12.4.4　函数的幂级数展开211

12.4.5　幂级数在近似计算中的应用215

12.5　傅里叶级数216

12.5.1 三角级数及三角函数系的正交性217

12.5.2 以2π为周期的函数展开为三角级数217

12.5.3　定义在［0，π］上的函数展开为正弦级数与余弦级数222

12.6　数学实验：无穷级数223

12.6.1　级数求和223

12.6.2　将函数在指定点展开成泰勒级数224

本章小结225

习题12225

附录A　Mathematica 5.0简介227

附录B 习题参考答案或提示239