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第五章 多元函数微分学1

第一节 多元函数的极限与连续性1

一、多元函数的极限1

二、多元函数的连续性3

三、有界闭区域上多元连续函数的性质4

习题5-15

第二节 偏导数5

一、一阶偏导数5

二、高阶偏导数9

习题5-211

第三节 全微分12

一、全微分的概念12

二、多元函数可微分的条件13

习题5-319

第四节 多元函数的求导法则19

一、多元复合函数的求导法则19

二、隐函数的求导法则24

习题5-427

第五节 方向导数与梯度29

一、方向导数29

二、梯度32

习题5-533

第六节 多元函数微分学的几何应用34

一、空间曲线的切线与法平面34

二、曲面的切平面与法线36

习题5-639

第七节 多元函数的极值40

一、多元函数的极值与最大值、最小值40

二、条件极值44

习题5-751

数学实验（五）51

一、问题的描述51

二、实验内容52

三、思考与练习55

数学文化（五）55

一、偏导数的起源与演变55

二、欧拉55

第六章 多元函数积分学58

第一节 二重积分58

一、二重积分的概念58

二、二重积分的性质62

三、二重积分的计算65

习题6-172

第二节 三重积分74

一、三重积分的定义与性质74

二、三重积分的计算77

习题6-286

第三节 曲线积分87

一、第一类曲线积分87

二、第二类曲线积分92

习题6-396

第四节 格林公式及其应用96

一、格林公式96

二、平面上曲线积分与路径无关的条件100

习题6-4103

第五节 第一类曲面积分104

一、第一类曲面积分的定义104

二、第一类曲面积分的性质及其对称性106

三、第一类曲面积分的计算106

习题6-5109

第六节 第二类曲面积分109

一、第二类曲面积分的定义与性质109

二、第二类曲面积分的计算113

三、高斯公式115

习题6-6117

第七节 多元函数积分学的物理应用118

一、质心118

二、转动惯量121

三、功123

习题6-7124

数学实验（六）125

一、问题的描述125

二、实验内容125

三、思考与练习126

数学文化（六）126

一、多元函数积分学的发展历程126

二、高斯127

第七章 无穷级数130

第一节 常数项级数的概念与性质130

一、常数项级数的概念130

二、级数的基本性质133

习题7-1135

第二节 常数项级数敛散性的判别法135

一、正项级数及其敛散性的判别法136

二、交错级数及其判别法142

三、绝对收敛与条件收敛143

习题7-2145

第三节 幂级数146

一、函数项级数的一般概念146

二、幂级数及其收敛性147

三、幂级数的运算及和函数的性质153

四、函数展开成幂级数154

习题7-3161

第四节 傅里叶级数162

一、三角级数162

二、三角函数系的正交性163

三、傅里叶级数164

四、正弦级数与余弦级数169

习题7-4172

数学实验（七）172

一、问题的描述172

二、实验内容172

三、思考与练习174

数学文化（七）175

一、无穷级数的发展历程175

二、傅里叶178

第八章 微分方程180

第一节 微分方程的基本概念180

习题8-1182

第二节 一阶微分方程的可积类型183

一、可分离变量方程183

二、可化为分离变量方程的类型186

三、一阶线性方程189

四、可化为一阶线性方程的类型193

习题8-2195

第三节 一阶微分方程的数值解法196

一、欧拉方法197

二、预报校正法198

三、龙格-库塔法199

习题8-3200

第四节 可降阶的高阶微分方程200

一、不显含未知函数的二阶微分方程201

二、不显含自变量的二阶微分方程203

习题8-4206

第五节 二阶线性微分方程206

一、二阶线性微分方程解的结构206

二、二阶常系数齐次线性微分方程208

三、二阶常系数非齐次线性微分方程211

习题8-5216

第六节 微分方程的应用216

一、正规战问题217

二、人口增长预报问题221

数学实验（八）224

一、利用数学软件求解微分方程224

二、油气产量和可采储量的预测问题225

数学文化（八）229

一、常微分方程的起源与发展229

二、伯努利家族230

习题答案与提示233

参考文献245