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目录1

第一章　复数与复变函数1

一、本章基本要求1

二、复数的概念及其运算1

（一）基本概念1

（二）复数的运算公式3

（三）复习思考题4

（一）关于区域表示法的练习5

三、复数及其运算解题法分类总结5

（二）关于曲线的参数表示法6

（三）用复数和共轭复数表示的曲线方程7

（四）关于两条直线垂直和平行的条件7

（五）求复平面上线段的分点和正多边形的对称中心9

（六）有关圆内接三角形和圆内接多边形的证明问题9

（七）有关复数模的等式和不等式的练习13

（八）利用乘方和开方化简或证明三角等式16

（九）复数的混合运算及其多项式的根19

（一）基本概念与定理21

四、复变函数的极限和连续21

（二）复习思考题23

五、极限与连续解题法分类总结23

（一）表达式w＝f（z）和w＝u（x，y）＋iv（x，y）的互相转化23

（二）关于函数在某点处连续性的判别24

（三）函数极限的求法和极限不存在的判别法25

六、复球面27

（一）复数在球面上的表示法与扩充复平面27

（二）球极投影公式27

（三）球极投影的基本性质——保圆性28

七、本章补充习题28

第二章　解析函数32

一、本章基本要求32

二、复变函数的解析性与调和函数32

（一）基本概念32

（二）基本定理33

（一）指数函数w＝ez＝expx34

三、初等函数34

（二）三角函数35

（三）双曲函数35

（四）对数函数36

（五）一般幂函数和一般指数函数36

（六）反三角函数和反双曲函数37

四、基本概念复习思考题39

五、例题分类总结40

（一）判别函数解析性和可导性40

（二）用调和函数表示解析函数的几个等式45

（三）解析函数w＝f（z）的C-R条件在极坐标系下的各种形式48

（四）关于解析函数与调和函数的关系50

（五）在函数解析条件下某些等式的证明53

（六）实变复值调和函数与函数f（？）的解析性55

（七）用L'Hospital法则求？型的极限56

（八）关于三角函数和双曲函数公式的证明57

（九）关于对数的性质与反三角函数和反双曲函数计算公式的证明58

（十）关于三角函数和双曲函数方程的解法59

（十一）计算初等函数值60

六、本章补充习题61

第三章　复变函数的积分64

一、本章基本要求64

二、基本概念、定理和公式64

（一）复变函数曲线积分的定义、计算及性质64

（二）曲线积分与路径无关的条件和闭路变形原理66

（三）柯西（Cauchy）积分公式和高阶导数公式67

三、复习思考题67

四、解题法分类总结69

（一）直接用柯西—古萨基本定理计算复变函数曲线积分69

（二）用复变函数中的牛顿—莱布尼兹公式计算复积分69

（三）直接用柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式计算复积分71

（四）被积函数在积分闭路内有多个奇点的积分72

（五）非解析函数的曲线积分计算73

（六）可把被积函数化为解析函数的曲线积分74

（七）在被积函数中含有不定常数的积分75

（八）利用柯西积分公式证明调和函数的性质76

（九）柯西积分公式在复闭路的推广78

五、本章补充习题79

第四章　级数82

一、本章基本要求82

二、基本概念、公式和定理82

（一）复数列与复数项级数82

（二）函数项级数与幂级数83

（三）台劳（Taylor）级数85

（四）罗伦（Laurent）级数86

（五）关于函数项级数的一致收敛性87

（六）关于级数的重排和级数的乘法89

三、复习思考题89

四、解题法分类总结92

（一）复数列极限的求法92

（二）判别级数敛散性的方法93

（三）关于幂级数收敛半径的求法94

（四）函数项级数收敛区域与和函数的求法96

（五）几个特殊数列极限与某些级数和的求法99

（六）关于幂级数收敛半径的比较和估计103

（七）求解析函数的台劳级数展开式104

（八）求函数在其解析环域内的罗伦级数111

（九）求函数在z＝∞点邻域内的罗伦级数115

（十）利用罗伦级数证明几种复变函数的付里叶（Fourier）级数展开式和某些含有三角级数的等式118

（十一）用台劳级数证明不等式121

（十二）关于级数的绝对收敛性和一致收敛性的证明122

（十三）台劳级数系数的定积分表达式及其估计128

（十四）利用台劳级数或罗伦级数求三角级数之和131

五、本章补充习题132

第五章　留数137

一、本章基本要求137

二、基本概念、公式和定理137

（一）孤立奇点137

（二）留数（Residue）139

（四）留数在定积分计算上的应用141

（三）对数留数与辐角原理141

三、基本概念复习思考题142

四、例题分类总结144

（一）L'Hospital法则与？型极限的求法144

（二）函数零点的阶数与函数运算的关系146

（三）判别孤立奇点的类型147

（四）判别无穷远点∞作为奇点的类型149

（五）求函数在孤立奇点处的留数（包括∞点）151

（六）利用留数计算沿闭路的复积分153

（七）函数在积分闭路内有无穷个孤立奇点的积分157

（八）利用留数证明含有积分的等式159

（九）关于函数的零点和极点的概念在某些证明问题中的应用164

（十）利用留数计算定积分和无穷限的广义积分166

（十一）约当（Jordan）引理和几类无穷限广义积分计算公式的证明168

五、本章补充习题171

（一）解析函数导数的几何意义和保角映射175

二、基本概念、定理和公式175

一、本章基本要求175

第六章　保角映射175

（二）解析映射的几个一般性定理177

（三）分式线性映射177

（四）几个初等函数所构成的映射180

三、复习思考题181

四、例题分类总结183

（一）与几种常见曲线有关的映射183

（二）求所给区域经已知映射后的像187

（三）求满足已给条件的分式线性映射189

（四）求把一个二角形区域变为上半平面的双方单值的保角映射192

（五）从一个扇形区域或一段圆弧的外部区域到上半平面的映射196

（六）把具有和边界垂直割缝的区域变为上半平面的映射198

（七）许瓦尔兹引理201

五、本章补充习题202

参考文献206

推荐使用教材206