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第1章 绪论1

1.1 算法1

1.1.1 算法的表形式1

1.1.2 算法常具有的基本特征2

1.2 误差4

1.2.1 误差的来源4

1.2.2 误差的基本概念5

1.2.3 有效数字6

1.3 数值运算时误差的传播7

1.3.1 一元函数计算误差的传播7

1.3.2 多元函数计算时误差的传播8

1.3.3 四则运算中误差的传播8

1.3.4 设计算法时应注意的问题9

1.3.5 病态问题数值算法的稳定性10

习题111

第2章 线性方程组的直接解法13

2.1 引言13

2.2 Gauss消元法13

2.2.1 Gauss消元法的基本思想14

2.2.2 Gauss消元法公式14

2.2.3 Gauss消元法的条件15

2.3 选主元的Gauss消元法16

2.3.1 列主元消元法16

2.3.2 全主元消元法17

2.4 Gauss-Jordan消元法18

2.4.1 Gauss-Jordan消元法的过程18

2.4.2 方阵求逆19

2.5 矩阵的LU分解20

2.5.1 矩阵LU分解20

2.5.2 直接LU分解22

2.5.3 行列式求法24

2.5.4 Crout分解25

2.6 平方根法26

2.6.1 矩阵的LDU分解26

2.6.2 对称正定矩阵的Cholesky分解26

2.6.3 平方根法和改进的平方根法27

2.7 追赶法28

2.8 向量和矩阵的范数32

2.8.1 向量范数32

2.8.2 矩阵范数33

2.8.3 谱半径34

2.8.4 条件数及病态方程组35

习题239

第3章 线性方程组的迭代解法42

3.1 迭代法的一般形式42

3.2 几种常用的迭代法公式42

3.2.1 Jacobi迭代法42

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法44

3.2.3 SOR迭代法45

3.3 迭代法的收敛条件47

3.3.1 从迭代矩阵B判断收敛47

3.3.2 从系数矩阵A判断收敛49

3.4 极小化方法51

3.4.1 与线性方程组等价的极值问题51

3.4.2 沿已知方向求函数的极小值52

3.4.3 最速下降法52

3.4.4 共轭斜向法53

习题355

第4章 方阵特征值和特征向量计算57

4.1 乘幂法和反幂法57

4.1.1 乘幂法57

4.1.2 乘幂法的其他复杂情况59

4.1.3 反幂法59

4.1.4 原点平移加速技术61

4.1.5 求已知特征值的特征向量61

4.2 Jacobi方法63

4.2.1 平面旋转矩阵63

4.2.2 古典Jacobi方法65

4.2.3 过关Jacobi方法66

4.3 QR方法67

4.3.1 Householder变换67

4.3.2 矩阵的正交三角分解68

4.3.3 基本QR方法69

习题470

第5章 非线性方程求根72

5.1 二分法72

5.2 迭代法74

5.2.1 迭代法的一般形式74

5.2.2 迭代法的收敛性75

5.2.3 迭代法收敛速度76

5.3 Newton迭代法与割线法77

5.3.1 Newton迭代法77

5.3.2 割线法81

5.4 非线性方程组的求根82

5.4.1 不动点迭代法83

5.4.2 Newton法85

5.4.3 Newton法的一些改进方案86

习题587

第6章 插值法89

6.1 Lagrange插值90

6.1.1 线性插值90

6.1.2 二次插值91

6.1.3 n次插值92

6.1.4 插值余项93

6.2 Newton插值法94

6.2.1 差商94

6.2.2 Newton插值多项式95

6.3 差分插值98

6.3.1 差分的概念98

6.3.2 差分的性质98

6.3.3 常用差分插值多项式99

6.4 Hermite插值101

6.4.1 带一阶导数的Hermite插值101

6.4.2 两种常用的三次Hermite插值103

6.5 分段插值105

6.5.1 Runge振荡现象105

6.5.2 分段线性插值106

6.5.3 分段三次Hermite插值107

6.6 样条插值108

6.6.1 样条插值的基本概念108

6.6.2 三转角插值法109

习题6112

第7章 最佳平方逼近与数据拟合114

7.1 逼近的概念114

7.2 最佳平方逼近114

7.2.1 函数的最佳平方逼近114

7.2.2 最佳平方逼近多项式115

7.3 数据拟合119

7.3.1 最小二乘函数拟合120

7.3.2 多项式拟合121

7.3.3 用正交多项式作曲线拟合125

习题7127

第8章 数值积分与数值微分130

8.1 求积公式130

8.1.1 问题的提出130

8.1.2 数值积分的基本思想130

8.1.3 代数精度131

8.1.4 插值型求积公式131

8.2 Newton-Cotes公式132

8.2.1 Newton-Cotes公式介绍132

8.2.2 常见的Newton-Cotes公式133

8.3 复化求积公式135

8.3.1 复化梯形公式135

8.3.2 复化Simpson公式136

8.3.3 复化Cotes公式137

8.3.4 变步长方法138

8.4 Romberg求积公式139

8.4.1 Richardson外推法139

8.4.2 Romberg积分法140

8.5 Gauss求积公式142

8.5.1 Gauss求积公式及其性质142

8.5.2 常见的Gauss型求积公式144

8.5.3 复化Gauss型求积公式149

8.6 数值微分150

8.6.1 数据的数值微分150

8.6.2 函数的数值微分151

习题8152

第9章 常微分方程的数值解法154

9.1 引言154

9.2 Euler方法155

9.2.1 Euler方法的推导155

9.2.2 几何意义156

9.2.3 Euler方法的改进156

9.3 Runge-Kutta方法159

9.3.1 R-K方法的构造159

9.3.2 四阶经典R-K公式160

9.3.3 步长的选取162

9.4 线性多步法163

9.4.1 线性多步法的一般形式163

9.4.2 利用数值积分构造线性多步法166

9.5 高阶的预测-校正公式167

9.5.1 四阶Adams预测-校正公式167

9.5.2 局部截断误差估计和修正168

9.5.3 修正的Adams预测-校正法169

9.6 一阶常微分方程组与高阶常微分方程170

9.6.1 一阶常微分方程组170

9.6.2 高阶常微分方程170

9.7 收敛性与稳定性171

9.7.1 收敛性171

9.7.2 稳定性172

习题9173

第10章 Matlab软件与数值计算175

10.1 矩阵与数组175

10.2 函数运算和作图178

10.2.1 基本初等函数178

10.2.2 多项式函数178

10.2.3 矩阵函数179

10.2.4 绘图命令183

10.2.5 Matlab编程186

10.3 线性方程组的数值解189

10.3.1 直接法189

10.3.2 迭代法190

10.3.3 迭代法收敛理论194

10.3.4 SOR法的松弛因子196

10.3.5 病态方程组和条件数198

10.4 方阵的特征值和特征向量198

10.4.1 乘幂法198

10.4.2 古典Jacobi旋转法200

10.4.3 基本QR算法201

10.4.4 Matlab中求特征值和特征向量的命令203

10.5 方程和方程组求根204

10.5.1 二分法204

10.5.2 Newton法205

10.5.3 Matlab关于方程（组）求根的命令206

10.6 插值方法208

10.6.1 Lagrange插值208

10.6.2 Newton插值208

10.6.3 用拟合函数polyfit作插值209

10.6.4 Matlab中的插值命令210

10.7 数据拟合与函数逼近211

10.7.1 多项式数据拟合211

10.7.2 非线性拟合213

10.7.3 最佳平方逼近214

10.8 数值积分216

10.8.1 非复化的数值积分216

10.8.2 复化数值积分计算217

10.8.3 Romberg积分计算219

10.8.4 Matlab中的积分公式220

10.9 常微分方程初值问题数值解221

10.9.1 单步法221

10.9.2 线性多步法224

10.9.3 预测-校正法227

10.9.4 Matlab中求解常微分方程初值问题数值解的命令228

习题参考答案或提示230

参考文献238