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第一章 预备知识1

第一节 点集拓扑学基本概念1

一、拓扑空间1

二、度量空间2

三、连续映射3

四、各种紧性3

第二节 抽象测度与积分6

一、抽象测度与积分6

二、Radon测度11

三、Riesz表示定理13

四、测度列的收敛15

五、Hausdorff测度16

第三节 抽象Banach空间17

一、赋范空间17

二、局部凸线性拓扑空间20

三、泛函分析的三个基本定理21

四、对偶弱收敛弱收敛22

第四节 Ho1der空间 广函 弱可微函数27

一、Ho1der空间27

二、用多项式逼近28

三、连续函数空间之间的嵌入29

四、广义函数30

五、弱导数31

第五节 Fourier变换33

一、Fourier变换的L1理论33

二、Fourier变换的L2理论37

三、速降函数及其Fourier变换39

四、缓增广义函数及其Fourier变换41

第二章 Lp空间43

第一节 概念与基本性质43

一、 空间Lp（Ω）43

二、Holder不等式44

三、完备 可分 一致凸性46

第二节 卷积与正则化49

一、卷积49

二、Young不等式50

三、正则化与光滑逼近51

第三节 Lp（Ω）的赋范对偶54

一、情形1＜p＜∞54

二、L1 （Ω）的对偶空间56

三、L∞（Ω）的对偶空间57

四、自反性结论58

第四节 Lp（Ω）中的收敛性59

一、Lp（Ω）中的相对紧集59

二、Brezis-Lieb引理62

第五节 Besicovitch微分定理64

一、覆盖定理64

二、极大函数70

三、微分定理73

第三章 Lorentz空间与Orlicz空间77

第一节 函数的对称重排77

一、分布函数及其积分77

二、函数的单减球面对称重排79

第二节 Lorentz空间82

一、Lorentz空间82

二、Lorentz空间上的Holder不等式84

第三节 Orlicz空间85

一、N函数85

二、Orlicz空间88

三、Orlicz空间的对偶90

四、Lp（x） （Ω）空间简介95

第四章 Sobolev空间Ⅰ97

第一节 整数阶Sobolev空间97

一、空间Wm，p（Ω）与Wm，0p（Ω）97

二、齐次Sobolev空间Dm，p（Rn）100

三、光滑逼近101

四、对偶空间105

第二节 Sobolev不等式110

一、Gagliardo-Nirenberg的方法110

二、Sobolev不等式-Riesz位势法111

三、Poincare不等式Wm，0p的等价范数119

第三节 W m，0 p（Ω）的嵌入120

一、到LqΩ）的嵌入120

二、Wm ，0p（Ω）到Holder空间的嵌入124

三、Wm ，0p（Ω）到Orlicz空间的嵌入129

四、Rellich-Kondrachov紧嵌入定理133

第五章 Sobolev空间Ⅱ135

第一节 Wm ，p（Ω）的嵌入135

一、经典结论136

二、延拓定理 插值定理139

三、一些新发展143

第二节 分数阶Sobolev空间145

一、空间W s，p（Rn）145

二、空间Ws，p（Ω）147

三、Sobolev容度与迹151

四、迹嵌入定理153

第三节 最佳嵌入不等式156

一、最佳常数S的极值函数156

二、最佳Trudinger不等式157

第四节 流形上的Sobolev空间161

一、Sobolev嵌入定理161

二、Trudinger不等式164

三、加权函数空间166

第六章 有界变差函数169

第一节 有界变差函数169

一、有界变差函数170

二、高阶有界变差函数174

三、嵌入定理175

第二节 球面对称重排的逼近177

一、极化178

二、极化的基本性质180

三、用极化逼近184

第三节 重排与积分不等式188

一、Polya-Szego不等式188

二、等周不等式193

三、余面积公式196

四、散度定理197

五、Talenti比较原理198

第七章 Lorentz-Sobolev空间与Orlicz-Sobolev空间203

第一节 Lorentz-Sobolev空间203

一、Hardy不等式205

二、到Lorentz空间的Sobolev嵌入209

三、O’Neil引理210

四、Lorentz-Sobolev空间及嵌入定理216

第二节 Orlicz-Sobolev空间218

一、空间Wm,？ （Ω）与Wm，0？ （Ω）218

二、嵌入定理219

第八章 Riesz位势与Riesz变换227

第一节 算子插值简介227

一、Marcinkiewicz插值定理227

二、一个例子233

第二节 Riesz位势234

一、Riesz位势的形式推演234

二、Riesz位势的算子插值性质239

第三节 Riesz变换240

一、Riesz变换及其特性240

二、经典奇异积分243

第九章 BMO空间与H1空间251

第一节 BMO与VMO空间251

一、BMO（Rn）251

二、John-Nirenberg不等式255

三、VMO（Rn）259

第二节 Hardy空间H1的原子刻画260

一、原子H1，q空间261

二、Fefferman对偶定理265

第三节 H1的极大函数刻画272

一、用Poisson极大函数刻画272

二、几种极大函数282

三、H1（Rn）各种极大函数刻画的等价性288

第四节 H1的Riesz变换刻画292

一、用调和函数刻画292

二、共轭调和函数系294

三、用Riesz变换刻画300

参考文献303

索引316