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主题概要1

0.1线性代数1

0.2实分析1

0.3向量值函数的微积分1

0.4点集拓扑2

0.5经典Stokes定理2

0.6微分形式和Stokes定理2

0.7曲线和曲面的曲率2

0.8几何学3

0.9复分析3

0.10可数性和选择公理4

0.11代数4

0.12勒贝格积分4

0.13傅里叶分析4

0.14微分方程5

0.15 组合学和概率论5

0.16算法5

第1章 线性代数6

1.1介绍6

1.2基本向量空间Rn7

1.3向量空间和线性变换9

1.4基、维数和表示为矩阵的线性变换11

1.5行列式13

1.6线性代数基本定理17

1.7相似矩阵18

1.8特征值和特征向量19

1.9对偶向量空间24

1.10推荐阅读25

1.11练习25

第2章ε和δ实分析27

2.1极限27

2.2连续性29

2.3微分30

2.4积分31

2.5微积分基本定理34

2.6函数的点态收敛36

2.7一致收敛38

2.8 Weierstrass M判别法40

2.9 Weierstrass的例子41

2.10推荐阅读45

2.11练习45

第3章向量值函数的微积分47

3.1向量值函数47

3.2向量值函数的极限和连续性48

3.3微分和Jacobi矩阵49

3.4反函数定理52

3.5隐函数定理53

3.6推荐阅读56

3.7练习57

第4章 点集拓扑59

4.1基础定义59

4.2 Rn上的标准拓扑61

4.3度量空间67

4.4拓扑基68

4.5交换环的Zariski拓扑69

4.6推荐阅读71

4.7练习72

第5章 经典Stokes定理74

5.1关于向量微积分的准备工作75

5.1.1向量场75

5.1.2流形和边界76

5.1.3路径积分78

5.1.4曲面积分81

5.1.5梯度83

5.1.6散度83

5.1.7旋度84

5.1.8可定向性84

5.2散度定理和Stokes定理85

5.3散度定理的物理解释87

5.4 Stokes定理的物理解释88

5.5散度定理的证明梗概89

5.6 Stokes定理的证明梗概91

5.7推荐阅读94

5.8练习94

第6章 微分形式和Stokes定理96

6.1平行六面体的体积96

6.2微分形式和外导数99

6.2.1初等k-形式100

6.2.2 k-形式的向量空间102

6.2.3处理k-形式的准则103

6.2.4微分k-形式和外导数106

6.3微分形式和向量场108

6.4流形110

6.5切空间和定向115

6.5.1隐式和参数化流形的切空间115

6.5.2抽象流形的切空间116

6.5.3向量空间的定向117

6.5.4流形和它的边界的定向118

6.6流形上的积分119

6.7 Stokes定理121

6.8推荐阅读123

6.9练习124

第7章 曲线和曲面的曲率126

7.1平面曲线126

7.2空间曲线128

7.3曲面132

7.4 Gauss-Bonet定理135

7.5推荐阅读136

7.6练习137

第8章 几何学139

8.1欧式几何140

8.2双曲几何141

8.3椭圆几何143

8.4曲率144

8.5推荐阅读145

8.6练习145

第9章 复分析147

9.1解析函数148

9.2柯西-黎曼方程149

9.3复变函数的积分表示153

9.4解析函数的幂级数表示159

9.5保角映射162

9.6黎曼映射定理164

9.7多复变数：哈托格斯定理165

9.8推荐阅读167

9.9练习167

第10章 可数性和选择公理170

10.1可数性170

10.2朴素集合论与悖论173

10.3选择公理175

10.4不可测集176

10.5哥德尔和独立性证明177

10.6推荐阅读178

10.7练习178

第11章 代数180

11.1群180

11.2表示论185

11.3环187

11.4域和迦罗瓦理论188

11.5推荐阅读193

11.6练习193

第12章 勒贝格积分195

12.1勒贝格测度195

12.2康托集197

12.3勒贝格积分199

12.4收敛理论201

12.5推荐阅读202

12.6练习202

第13章 傅里叶分析204

13.1波函数，周期函数和三角学204

13.2傅里叶级数205

13.3收敛问题210

13.4傅里叶积分和变换211

13.5求解微分方程214

13.6推荐阅读216

13.7练习216

第14章 微分方程218

14.1基本知识218

14.2常微分方程219

14.3拉普拉斯算子222

14.3.1平均值原理222

14.3.2变量分离224

14.3.3在复分析上的应用225

14.4热传导方程226

14.5波动方程228

14.5.1来源228

14.5.2变量代换231

14.6求解失败：可积性条件233

14.7 Lewy的例子235

14.8推荐阅读235

14.9练习236

第15章 组合学和概率论237

15.1计数237

15.2概率论基础238

15.3独立性240

15.4期望和方差241

15.5中心极限定理243

15.6n！的Stirling近似248

15.7推荐阅读252

15.8练习252

第16章 算法254

16.1算法和复杂度254

16.2图：欧拉和哈密顿回路255

16.3排序和树257

16.4 P=NP？260

16.5数值分析：牛顿法261

16.6推荐阅读266

16.7练习266

附录 等价关系268

参考文献270