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第一章 微商1

1.1 微积分研究什么1

1.1.1 微积分与初等数学研究对象的比较1

1.1.2 微积分研究的两类典型问题2

1.2 预备知识3

1.2.1 逻辑符号3

1.2.2 邻域3

1.2.3 不等式3

1.2.4 数列极限5

习题1-212

1.3 函数13

1.3.1 函数的概念13

1.3.2 函数的运算15

1.3.3 函数的改变量与差商16

1.3.4 复合运算·复合函数17

1.3.5 函数的几种特性19

1.3.6 函数模型21

习题1-325

1.4 函数的极限28

1.4.1 x→x0时函数f（x）的极限28

1.4.2 函数极限的运算与性质33

1.4.3 第一个重要极限36

习题1-437

1.5 函数的连续性39

1.5.1 连续与间断的直观描述39

1.5.2 连续与间断的定义40

1.5.3 初等函数的连续性45

1.5.4 闭区间上连续函数的性质47

习题1-548

1.6 函数在无穷远处的极限50

1.6.1 x→∞时函数f（x）的极限50

1.6.2 第二个重要极限54

习题1-657

1.7 无穷小量及其比较58

1.7.1 无穷小量58

1.7.2 无穷小量的比较59

习题1-762

1.8 微商63

1.8.1 微积分的典型问题之一——切线问题63

1.8.2 微商概念65

1.8.3 可微性与连续性71

1.8.4 数学怪物——科赫（Koch）雪花曲线·分形几何学简介73

习题1-875

第一章的重要概念与公式76

总练习题一77

第二章 微分法81

2.1 微商的运算法则81

2.1.1 基本微商公式81

2.1.2 函数和、差、积、商的微商法则81

2.1.3 反函数微商法则85

2.1.4 复合函数微商法则87

2.1.5 隐微分法89

习题2-191

2.2 高阶微商93

2.2.1 高阶微商93

2.2.2 关于函数乘积微商的莱布尼茨（Leibniz）公式96

习题2-297

2.3 微分及其应用98

2.3.1 微分及其运算98

2.3.2 微分的应用102

习题2-3110

第二章的重要概念与公式112

总练习题二113

第三章 微商的应用116

3.1 微分中值定理116

3.1.1 函数的极值与费马（Fermat）引理116

3.1.2 微分中值定理117

3.1.3 微分中值定理的证明121

习题3-1122

3.2 用微商研究函数123

3.2.1 函数单调性的判别法123

3.2.2 函数极值的检验法126

3.2.3 曲线的凸性与拐点129

3.2.4 函数作图131

习题3-2135

3.3 最优化问题136

3.3.1 最大值、最小值136

3.3.2 最优化问题137

习题3-3142

3.4 相对变化率与相关变化率143

3.4.1 边际与边际分析143

3.4.2 弹性与弹性分析146

3.4.3 相关变化率150

习题3-4151

3.5 洛必达（L'Hospital）法则153

3.5.1 洛必达法则153

3.5.2 洛必达法则的证明157

3.5.3 其他类型不定式的极限158

习题3-5161

第三章的重要概念与公式162

总练习题三163

第四章 积分及其应用168

4.1 定积分168

4.1.1 微积分的典型问题之二——面积问题168

4.1.2 定积分概念169

4.1.3 可积的充分条件171

习题4-1172

4.2 定积分与原函数的关系172

4.2.1 直观背景172

4.2.2 原函数与不定积分174

4.2.3 微积分基本定理178

习题4-2181

4.3 定积分的性质183

习题4-3188

4.4 积分法189

4.4.1 直接积分法189

4.4.2 换元积分法191

4.4.3 分部积分法205

4.4.4 积分表的使用210

4.4.5 数值积分法211

习题4-4215

4.5 定积分的应用218

4.5.1 反常积分218

4.5.2 面积、体积、弧长的计算224

4.5.3 定积分在经济管理与社会科学中的应用233

习题4-5236

第四章的重要概念与公式238

总练习题四239

第五章 微分方程与差分方程246

5.1 微分方程基础246

5.1.1 实际背景246

5.1.2 基本概念249

习题5-1251

5.2 一阶微分方程251

5.2.1 可分离变量的微分方程251

5.2.2 齐次（微分）方程253

5.2.3 一阶线性微分方程255

5.2.4 微分方程的应用（连续模型）260

习题5-2263

5.3 二阶微分方程265

5.3.1 可降阶的二阶微分方程266

5.3.2 二阶常系数线性微分方程267

5.3.3 微分方程组274

习题5-3278

5.4 差分方程280

5.4.1 差分方程基础280

5.4.2 一阶常系数线性差分方程283

5.4.3 二阶常系数线性差分方程286

5.4.4 差分方程的应用（离散模型）288

习题5-4296

第五章的重要概念与公式297

总练习题五298

第六章 多元函数微分学302

6.1 曲面与空间曲线302

6.1.1 空间直角坐标系302

6.1.2 曲面306

6.1.3 空间曲线308

6.1.4 向量及其运算311

习题6-1316

6.2 多元函数317

6.2.1 多元函数概念317

6.2.2 等高线·等产量线319

6.2.3 二元函数的极限与连续320

习题6-2320

6.3 偏微商322

6.3.1 偏微商与全微分322

6.3.2 偏微商的应用325

6.3.3 高阶偏微商328

习题6-3329

6.4 多元复合函数微分法330

6.4.1 多元复合函数微分法330

6.4.2 隐微分法334

习题6-4337

6.5 最优化问题339

6.5.1 二元函数的极值339

6.5.2 无约束最优化问题341

6.5.3 约束最优化问题342

6.5.4 最小二乘法与数学建模347

6.5.5 线性规划352

习题6-5355

第六章的重要概念与公式357

总练习题六358

第七章 二重积分361

7.1 二重积分概念361

7.1.1 实际背景361

7.1.2 二重积分定义362

7.1.3 二重积分的性质363

习题7-1365

7.2 二重积分的计算366

7.2.1 在直角坐标下计算二重积分366

7.2.2 在极坐标下计算二重积分371

习题7-2374

7.3 二重积分的应用376

7.3.1 用二重积分计算概率积分？e-x2 dx376

7.3.2 用二重积分计算体积与面积377

7.3.3 二重积分在社会科学中的应用380

习题7-3382

第七章的重要概念与公式382

总练习题七383

第八章 无穷级数386

8.1 数项级数386

8.1.1 基本概念386

8.1.2 基本性质·级数收敛的必要条件392

8.1.3 正项级数的收敛检验法393

8.1.4 交错级数·莱布尼茨检验法398

8.1.5 绝对收敛·条件收敛400

习题8-1401

8.2 幂级数403

8.2.1 幂级数概念与性质403

8.2.2 幂级数的收敛半径404

8.2.3 幂级数的运算407

习题8-2410

8.3 泰勒（Taylor）级数411

8.3.1 问题的提出411

8.3.2 泰勒公式414

8.3.3 函数的泰勒展开式417

8.3.4 泰勒级数的应用420

习题8-3423

第八章的重要概念与公式425

总练习题八426

附录一 MATLAB基础知识简介430

1 MATLAB快速入门430

2 变量与数据431

3 MATLAB库函数433

4 逻辑运算与控制语句435

5 M文件与M函数438

附录二 数学实验440

实验一 方程根的近似计算440

实验二 一元函数图形的绘制442

实验三 数值积分445

实验四 微分方程的数值解法447

实验五 空间图形的绘制450

实验六 利用泰勒级数作近似计算452

实验七 综合设计实验——绘制科赫雪花曲线454

附录三 常用几何曲线456

附录四 积分表459

习题答案468

名词术语索引496

参考文献501