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第八章 原函数（不定积分）1

§1.不定积分与它的计算的最简单方法1

263.原函数（即不定积分）的概念1

264.积分与面积定义问题4

265.基本积分表6

266.最简单的积分法则7

267.例题8

268.换元积分法12

269.例题15

270.分部积分法19

271.例题20

§2.有理式的积分23

272.在有限形状中积分问题的提出23

273.部分分式与它们的积分24

274.分解真分式为部分分式25

275.系数的确定、真分式的积分28

276.分离积分的有理部分30

277.例题32

§3.某些含有根式的函数的积分35

278.形状为R（x，？）的积分、例题35

279.二项式微分的积分、例题36

280.递推公式38

281.形状为R（x，？）的表达式的积分、欧拉替换41

282.欧拉替换的几何解释42

283.例题44

284.其他的计算方法48

285.例题54

§4.含有三角函数与指数函数的表达式的积分56

286.关于R（sinx，cosx）dx的积分56

287.关于表达式sinνx·cosμx的积分58

288.例题59

289.其他情形的概述63

§5.椭圆积分64

290.一般说明及定义64

291.辅助变换66

292.化成标准形式68

293.第一、第二与第三类椭圆积分70

第九章 定积分73

§1.定积分的定义与存在条件73

294.处理面积问题的另一方法73

295.定义74

296.达布和76

297.积分的存在条件78

298.可积函数的种类80

299.可积函数的一些性质81

300.例题及补充83

301.看作极限的下积分与上积分84

§2.定积分的一些性质85

302.沿定向区间的积分85

303.可用等式表示的一些性质87

304.可用不等式表示的一些性质88

305.定积分看作积分上限的函数91

306.第二中值定理93

§3.定积分的计算与变换95

307.借助于积分和的计算95

308.积分学的基本公式98

309.例题100

310.基本公式的另一导出法102

311.递推公式103

312.例题104

313.定积分的换元公式107

314.例题108

315.高斯公式、蓝登变换113

316.换元公式的另一导出法115

§4.定积分的一些应用116

317.沃利斯公式116

318.带余项的泰勒公式117

319.数e的超越性118

320.勒让德多项式119

321.积分不等式122

§5.积分的近似计算123

322.问题的提出、矩形及梯形公式123

323.抛物线型插值法125

324.积分区间的分割127

325.矩形公式的余项128

326.梯形公式的余项130

327.辛卜森公式的余项130

328.例题132

第十章 积分学在几何学、力学与物理学中的应用137

§1.弧长137

329.曲线长的计算137

330.定义曲线长度的概念及计算曲线长度的另一种途径139

331.例141

332.平面曲线的内蕴方程146

333.例149

334.空间的曲线的弧长151

§2.面积与体积152

335.面积概念的定义、可加性152

336.面积看作极限154

337.可求积的区域的种类156

338.面积的积分表达式157

339.例159

340.体积概念的定义及其特性165

341.有体积的立体的种类166

342.体积的积分表达式167

343.例170

344.旋转曲面的面积175

345.例178

346.柱面面积180

347.例181

§3.力学与物理学的数量的计算183

348.定积分应用的大意183

349.曲线的静力矩与重心的求法185

350.例187

351.平面图形的静力矩与重心的求法188

352.例189

353.力学上的功190

354.例191

355.平面轴基的摩擦力的功193

356.无穷小元素求和的问题194

§4.最简单的微分方程198

357.基本概念、一阶方程198

358.导数的一次方程、分离变量199

359.问题201

360.关于微分方程的构成的附注206

361.问题207

第十一章 常数项无穷级数211

§1.引言211

362.基本概念211

363.例题212

364.基本定理214

§2.正项级数的收敛性216

365.正项级数收敛的条件216

366.级数的比较定理218

367.例题219

368.柯西判别法与达朗贝尔判别法222

369.拉阿伯判别法224

370.例题226

371.库默尔判别法228

372.高斯判别法230

373.麦克劳林-柯西积分判别法232

374.叶尔马科夫判别法235

375.补充材料237

§3.任意项级数的收敛性242

376.级数收敛的一般条件242

377.绝对收敛243

378.例题244

379.幂级数、幂级数的收敛区间246

380.用系数表示收敛半径247

381.交错级数249

382.例题250

383.阿贝尔变换252

384.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法253

385.例题255

§4.收敛级数的性质259

386.可结合性259

387.绝对收敛级数的可交换性260

388.非绝对收敛级数的情形262

389.级数的乘法264

390.例题267

391.极限理论中的一般定理269

392.级数乘法定理的推广271

§5.累级数与二重级数273

393.累级数273

394.二重级数276

395.例题280

396.两个变量的幂级数；收敛区域287

397.例题289

398.多重级数291

§6.无穷乘积291

399.基本概念291

400.例题292

401.基本定理·与级数的关系294

402.例题297

§7.初等函数的展开303

403.展开函数成幂级数；泰勒级数303

404.展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数305

405.对数级数307

406.斯特林公式308

407.二项式级数310

408.展开sinx与cosx成无穷乘积312

§8.借助于级数作近似计算315

409.一般说明315

410.数π的计算316

411.对数的计算318

412.根式的计算320

413.欧拉级数的变换322

414.例题323

415.库默尔变换325

416.马尔可夫变换328

§9.发散级数的求和法330

417.导言330

418.幂级数法331

419.陶伯定理334

420.算术平均法336

421.泊松-阿贝尔法与切萨罗法的相互关系337

422.哈代兰道定理339

423.广义求和法在级数乘法上的应用341

424.级数的其他广义求和法342

425.例子346

426.一般的线性正则求和法类349

第十二章 函数序列与函数级数352

§1.一致收敛性352

427.引言352

428.一致收敛性与非一致收敛性354

429.一致收敛性的条件357

430.级数一致收敛性的判别法358

§2.级数和的函数性质361

431.级数和的连续性361

432.关于拟一致收敛的附注363

433.逐项取极限365

434.级数的逐项求积分366

435.级数的逐项求导数368

436.序列的观点371

437.幂级数的和的连续性373

438.幂级数积分与微分376

§3.应用378

439.级数和连续性与逐项取极限的例378

440.级数的逐项求积分的例384

441.级数的逐项求导数的例393

442.隐函数理论中的逐次逼近法398

443.三角函数的分析定义401

444.没有导数的连续函数的例子403

§4.关于幂级数的补充知识405

445.关于幂级数的运算405

446.把级数代入级数408

447.例410

448.幂级数的除法415

449.伯努利数及含有伯努利数的展式417

450.利用级数解方程421

451.幂级数之反演424

452.拉格朗日级数426

§5.复变量的初等函数430

453.复数430

454.复整序变量及其极限432

455.复变量的函数434

456.幂级数436

457.指数函数439

458.对数函数440

459.三角函数及反三角函数443

460.乘方函数446

461.例447

§6.包络级数与渐近级数·欧拉-麦克劳林公式451

462.例451

463.定义453

464.渐近展开的基本性质456

465.推导欧拉-麦克劳林公式459

466.对余式的研究461

467.借助于欧拉-麦克劳林公式进行计算的例462

468.欧拉-麦克劳林公式的另一种形式465

469.斯特林公式与斯特林级数467

第十三章 反常积分469

§1.积分限为无穷的反常积分469

470.积分限为无穷的反常积分的定义469

471.积分学基本公式的用法471

472.例题471

473.与级数类比·最简单的定理474

474.在正函数情形下积分的收敛性475

475.一般情形的积分收敛性476

476.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法477

477.把反常积分化为无穷级数480

478.例题482

§2.无界函数的反常积分488

479.无界函数的积分的定义488

480.关于奇点的附注490

481.积分学基本公式的用法·例题491

482.积分存在的条件和判断法492

483.例题495

484.反常积分的主值497

485.关于发散积分广义值的附注500

§3.反常积分的性质与变形502

486.最简单的一些性质502

487.中值定理503

488.反常积分的分部积分法505

489.例题505

490.反常积分里的变量变换507

491.例题508

§4.反常积分的特别计算法512

492.几个有名的积分512

493.用积分和计算反常积分·积分限都为有限的情形515

494.积分带无穷限的情形516

495.伏汝兰尼积分519

496.有理函数在正负无穷之间的积分521

497.杂例和习题525

§5.反常积分的近似计算535

498.有限区间上的积分·奇点分出法535

499.例题536

500.关于常义积分的近似计算的附注540

501.带有无穷限的反常积分的近似计算540

502.渐近展开的应用542

第十四章 依赖于参数的积分546

§1.基本理论546

503.问题的提出546

504.一致趋于极限函数546

505.两个极限过程的互换549

506.在积分号下的极限过程551

507.在积分号下的微分法552

508.在积分号下的积分法554

509.积分限依赖于参数的情形556

510.仅依赖于x的因子的引入557

511.例题559

512.代数学基本定理的高斯证明568

§2.积分的一致收敛性569

513.积分的一致收敛性的定义569

514.一致收敛的条件·与级数的联系570

515.一致收敛的充分判别法571

516.一致收敛性的其他情形573

517.例题574

§3.积分一致收敛性的应用578

518.在积分号下的极限过程578

519.例题581

520.含参数的积分的连续性与可微性592

521.含参数的积分的积分法594

522.对于一些积分计算的应用596

523.在积分号下取导数的例题601

524.在积分号下求积分的例题609

§4.补充617

525.阿尔泽拉引理617

526.积分号下取极限618

527.积分号下取导数621

528.积分号下取积分622

§5.欧拉积分623

529.第一型欧拉积分623

530.第二型欧拉积分625

531.Г函数的一些最简单的性质626

532.由Г函数的特性而得的同义定义632

533.Г函数的其他函数特性633

534.例题635

535.Г函数的对数导数641

536.Г函数之叠乘定理642

537.几个级数展式与乘积展式643

538.例与补充645

539.若干定积分之计算650

540.斯特林公式656

541.欧拉常数之计算659

542.Г函数的以10为底的对数表的编制660

索引663

校订后记671