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第1章 绪论1

1.1 引言1

1.2 基本概念2

1.3 线性偏微分方程基本性质4

1.4 二阶线性偏微分方程4

1.5 定解条件和定解问题7

1.6 适定性8

1.7 叠加原理8

1.8 傅立叶级数9

1.8.1 单重傅立叶级数9

1.8.2 二重傅立叶级数10

1.8.3 三重傅立叶级数11

1.9 积分变换12

1.9.1 傅立叶积分变换12

1.9.2 拉普拉斯变换14

1.9.3 梅林变换15

1.9.4 汉克尔变换16

1.9.5 勒让德变换16

1.10 伽马函数17

第2章 直角坐标系下的分离变量法19

2.1 概述19

2.2 分离变量法实施过程19

2.2.1 两端固定弦的振动问题19

2.2.2 矩形域内的各向同性热传导稳态问题21

2.2.3 二维矩形域内各向同性热传导非稳态问题24

第3章 直（斜）角坐标系下的偏微分方程复数分离变量法（复数级数方法）27

3.1 概述27

3.2 直角坐标下偏微分方程复数级数方法实施过程27

3.2.1 各向异性矩形板横向弯曲问题27

3.2.2 矩形域各向异性稳态热传导复数级数方法解32

3.3 斜角坐标下偏微分方程复数级数方法实施过程34

3.3.1 各向异性斜形板横向弯曲问题34

3.3.2 各向异性斜形域稳态温度场解析解37

3.4 数学物理实数化原理38

3.5 偏微分方程复数级数方法实施要点38

第4章 贝塞尔函数方法40

4.1 贝塞尔方程的导出40

4.2 贝塞尔函数的递推公式43

4.3 贝塞尔级数展开43

4.4 变形贝塞尔函数46

4.5 Kelvin函数47

4.6 球贝塞尔函数48

4.7 变形球贝塞尔函数48

第5章 圆域各向异性非稳态热传导方程解析——复数柱多项式与复数柱函数50

5.1 极坐标下的各向异性热传导方程50

5.2 各向异性圆域稳态温度场解析51

5.3 Zip微分方程，复数柱多项式与复数柱函数和非稳态温度场解析解52

5.3.1 Zip微分方程，复数柱多项式与复数柱函数53

5.3.2 给定温度边界条件的实心圆柱非稳态热传导解析解56

5.3.3 复数多项式函数Zip l，n（x）初步分析58

5.3.4 计算程序59

5.3.5 数值实验60

5.3.6 复数柱函数解实数化证明64

5.4 复数柱函数展开定理与复数柱多项式研究67

5.4.1 复数柱函数展开定理证明67

5.4.2 Zip l，n（x）多项式与贝塞尔函数的关系69

5.4.3 Zip（x）多项式的微分公式、递推关系式和积分公式70

5.5 第二类复数柱多项式定义及其递推公式75

5.6 第三类复数柱多项式定义及其递推公式77

5.7 复数柱多项式函数渐近展开78

5.8 其他边界条件下的圆域非稳态热传导问题求解79

5.8.1 给定第二类边界条件的实心圆域非稳态热传导解79

5.8.2 侧面具有第三类边界条件的各向异性实心柱体热传导非稳态解80

5.9 圆环域非稳态热传导求解与复数柱环函数圆环域展开定理80

5.9.1 侧面具有第一类边界条件的各向异性圆环域非稳态问题与复数柱环函数圆环域展开定理80

5.9.2 复数柱环函数Sipn（x）einθ圆环域展开定理82

5.9.3 侧面具有第二、三类边界条件的各向异性圆环域热传导非稳态解84

第6章 各向异性圆柱体稳态热传导方程柱对称问题——复数柱对称函数86

6.1 控制偏微分方程和复数柱对称函数86

6.2 柱侧面具有第一类边界条件的各向异性实心柱体热传导解90

6.3 柱侧面具有第二类边界条件的各向异性实心柱体热传导解95

6.4 柱侧面具有第三类边界条件的各向异性实心柱体热传导解96

6.5 柱侧面具有第一类边界条件的各向异性空心柱体热传导解97

6.6 柱侧面具有第二类边界条件的各向异性空心柱体热传导解98

6.7 侧面具有第三类边界条件的各向异性空心柱体热传导解99

6.8 各向同性圆柱体稳态热传导方程中心轴对称问题解99

第7章 三维各向异性圆柱稳态热传导方程——系列变形复数柱多项式和复数函数101

7.1 柱坐标下的三维各向异性圆柱体稳态温度场偏微分方程101

7.2 变形Zip方程，变形复数柱多项式和变形复数柱函数及A型各向异性柱体热传导解析解102

7.2.1 柱侧面具有第一类边界条件的A型各向异性实心圆柱体热传导104

7.2.2 柱侧面具有第二类边界条件的A型各向异性实心圆柱体热传导109

7.2.3 柱侧面具有第三类边界条件的A型各向异性实心柱体热传导110

7.2.4 柱侧面具有第一类边界条件的A型各向异性空心柱体热传导110

7.2.5 柱侧面具有第二类边界条件的A型各向异性空心柱体热传导111

7.2.6 柱侧面具有第三类边界条件的A型各向异性空心柱体热传导112

7.3 变形复数柱函数研究113

7.3.1 Zip（x）多项式与变形贝塞尔函数的关系113

7.3.2 Zip（x）多项式的微分公式与递推关系式113

7.4 第二类变形复数柱多项式定义及其递推公式118

7.5 第三类变形复数柱多项式函数定义及其递推公式123

7.6 有关变形复数柱函数的积分公式123

7.7 三维B型各向异性圆柱稳态热传导方程——B型柱多项式125

7.7.1 柱侧面具有第一类边界条件——B型各向异性实心圆柱体稳态问题解128

7.7.2 柱侧面具有第二类边界条件的B型各向异性实心柱体热传导解131

7.7.3 侧面具有第三类边界条件的B型各向异性实心柱体热传导解132

7.7.4 侧面具有第一类边界条件的B型各向异性空心柱体热传导解132

7.7.5 侧面具有第二类边界条件的B型各向异性空心柱体热传导解132

7.7.6 侧面具有第三类边界条件的B型各向异性空心柱体热传导解133

7.8 三维C型各向异性圆柱稳态热传导方程——C型复数柱多项式134

7.8.1 侧面具有第一类边界条件的C型各向异性实心圆柱体136

7.8.2 侧面具有第二类边界条件的C型各向异性实心柱体热传导解141

7.8.3 侧面具有第三类边界条件的C型各向异性实心柱体热传导稳态解141

7.8.4 侧面具有第一类边界条件的C型各向异性空心柱体热传导解141

7.8.5 侧面具有第二类边界条件的C型各向异性空心柱体热传导解142

7.8.6 侧面具有第三类边界条件的C型各向异性空心柱体热传导解142

7.9 一般三维各向异性圆柱稳态热传导方程143

7.9.1 柱侧面具有第一类边界条件的一般各向异性实心圆柱体稳态解145

7.9.2 柱侧面具有第二类边界条件的一般各向异性实心柱体热传导解146

7.9.3 柱侧面具有第三类边界条件的一般各向异性实心柱体热传导解146

7.9.4 柱侧面具有第一类边界条件的一般各向异性空心柱体热传导解147

7.9.5 柱侧面具有第二类边界条件的一般各向异性空心柱体热传导解147

7.9.6 柱侧面具有第三类边界条件的一般各向异性空心柱体热传导解148

7.10 各向异性柱方程与合流超几何方程的关系149

第8章 三维各向异性圆柱体非稳态热传导方程——复数柱体函数150

8.1 三维各向异性圆柱体非稳态温度场偏微分方程及求解150

8.2 复数柱体函数展开定理156

8.3 求解模式及数值实验157

8.4 其他边界条件下的A型各向异性柱体热传导非稳态问题157

8.4.1 柱侧面具有第二类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件实心柱体157

8.4.2 柱侧面具有第三类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件的实心柱体158

8.4.3 柱侧面具有第一类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件空心柱体158

8.4.4 柱侧面具有第二类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件空心柱体159

8.4.5 柱侧面具有第三类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件空心柱体160

8.5 特征值λ的求解160

第9章 表面与环境换热的各向异性圆薄板稳态热传导方程——变形复数球柱多项式与变形复数球柱函数162

9.1 极坐标下的板面与外界换热圆薄板稳态热传导控制方程162

9.2 变形复数球柱多项式、变形球Zip方程及各向异性圆板热传导解163

9.2.1 变形Zip方程和变形复数柱多项式163

9.2.2 表面与环境换热的各向异性圆板热传导解166

9.2.3 多项式函数Y（l）n（x）和变形复数球柱多项式？ip l，n（x）关系167

9.2.4 数值实验169

9.3 变形复数球柱函数实数化分析172

9.4 变形复数球柱多项式特性分析173

9.4.1 变形复数球柱多项式？ip l，n（x）与变形球贝塞尔函数、变形复数柱多项式的关系173

9.4.2 ？ip l，n（x）多项式的微分公式、递推关系式和有关积分公式研究174

9.5 第二类变形复数球柱多项式定义及其微分公式、递推公式177

第10章 各向异性二维圆薄板非稳态热传导方程——复数球柱多项式与复数球柱函数181

10.1 各向异性二维圆薄板非稳态热传导偏微分方程181

10.2 复数球柱多项式、球Zip方程及各向异性圆板非稳态热传导解182

10.2.1 球Zip方程和复数球柱多项式182

10.2.2 具有第一类边界条件的实心圆板非稳态热传导解186

10.2.3 复数球柱多项式研究187

10.2.4 计算程序189

10.2.5 数值实验190

10.3 复数球柱函数实数化分析193

10.4 复数球柱函数展开定理证明194

10.5 复数球柱多项式的微分公式、递推关系式和积分公式196

10.5.1 Cip（x）多项式的微分公式197

10.5.2 Cip（x）多项式递推关系式198

10.5.3 有关Cip（x）的积分公式199

10.6 第二类复数球柱多项式定义及其递推公式200

10.7 第三类复数球柱多项式定义及其递推公式201

10.8 其他边界条件下的薄圆板非稳态热传导问题求解203

10.8.1 给定第二类边界条件的实心薄圆板非稳态热传导203

10.8.2 具有第三类边界条件的实心薄圆板柱体非稳态热传导203

10.9 各向异性圆环薄板非稳态热传导与复数球柱环函数展开定理204

10.9.1 柱侧面边界具有第一类边界条件的各向异性薄圆环板求解204

10.9.2 复数球柱环函数圆环域展开定理206

10.10 具有第二、三类边界条件的各向异性圆环薄板非稳态热传导208

第11章 各向异性圆柱薄壳稳态热传导方程——一般复数柱面函数210

11.1 各向异性圆柱薄壳稳态热传导求解和一般复数柱面函数210

11.1.1 齐次解211

11.1.2 求解程序212

11.1.3 数值实验213

11.2 柱面与环境换热的各向异性圆柱薄壳稳态热传导问题解214

11.2.1 齐次解215

11.2.2 求解程序216

11.2.3 数值实验217

第12章 各向异性圆柱薄壳非稳态热传导——参数复数柱面多项式与参数复数柱面函数219

12.1 各向异性圆柱薄壳非稳态热传导控制方程求解219

12.2 有限长各向异性圆柱壳两端给定温度值的非稳态热传导解222

12.3 第一类复数柱面函数展开定理222

第13章 球坐标各向同性热传导方程——实数幂级数方法和勒让德级数225

13.1 引言225

13.2 球坐标下的各向同性热传导方程225

13.3 勒让德方程的实数幂级数解227

13.4 勒让德多项式228

13.5 勒让德多项式递推公式230

13.6 勒让德多项式的正交性231

13.7 傅立叶-勒让德级数231

第14章 各向异性球带面稳态温度场方程——复数球多项式与复数球面函数233

14.1 球坐标下的各向异性球面热传导控制偏微分方程233

14.2 球Zis方程、复数球面函数、多项式及各向异性球面热传导解234

14.2.1 球Zis方程、复数球面函数和复数球多项式234

14.2.2 各向异性球面稳态热传导解237

14.3 数值实验238

14.4 复数球面函数展开法总结241

14.5 复数球多项式系数递推公式241

14.6 复数球面函数解实数化分析242

第15章 球面与外界换热的各向异性球带面稳态温度场方程——参数复数球多项式与参数复数球面函数245

15.1 球坐标下考虑球面换热的各向异性热传导偏微分方程245

15.2 参数球Zis方程、参数复数球面函数、参数复数多项式及球面与环境换热球面热传导解246

15.2.1 参数球Zis方程、参数复数球面函数和参数复数多项式246

15.2.2 与环境换热的各向异性球面热传导解249

15.3 数值实验250

15.4 参数复数球多项式系数递推公式252

15.5 参数复数球面函数解实数化分析253

第16章 各向异性球带面稳态热传导方程——缔合复数球多项式与缔合复数球面函数255

16.1 球坐标下的各向异性球面热传导控制偏微分方程255

16.2 缔合球Zis方程、缔合复数球面函数、缔合复数球多项式及各向异性球面热传导解255

16.2.1 缔合球Zis方程、缔合复数球面函数和缔合复数球多项式255

16.2.2 各向异性球面稳态热传导缔合复数球面函数解259

16.3 数值实验260

16.4 各向异性球冠面稳态热传导与极点（极轴）绝热边界条件263

16.5 缔合复数球面函数展开法总结265

16.6 缔合复数球多项式系数递推公式265

第17章 表面与外界换热的各向异性球带面稳态热传导方程——参数缔合复数球多项式与复数球面函数267

17.1 球坐标下考虑球面换热的各向异性热传导偏微分方程267

17.2 参数缔合球Zis方程、复数球面函数、复数球多项式及球面换热的各向异性球面热传导解268

17.2.1 参数缔合球Zis方程、参数缔合复数球面函数和参数缔合复数球多项式268

17.2.2 球面换热的各向异性球面热传导问题复数球面函数解271

17.3 数值实验272

17.4 参数缔合复数球多项式递推公式275

第18章 各向异性薄圆锥壳热传导问题解析277

18.1 概述277

18.2 各向异性薄圆锥壳稳态热传导控制方程277

18.3 一般解析解的建立278

18.4 数值实验279

18.5 复数级数解实数化证明281

第19章 与外界换热的各向异性薄圆锥壳稳态热传导方程——变形复数球柱函数应用282

19.1 概述282

19.2 球坐标下各向异性稳态热传导方程282

19.3 一般解析解283

19.4 数值实验284

第20章 各向异性薄圆锥壳非稳态热传导方程——复数球柱函数应用286

20.1 球坐标下各向异性非稳态热传导方程286

20.2 求解过程287

20.2.1 齐次解287

20.2.2 具有第一类边界条件的薄实心圆锥壳非稳态热传导解288

20.3 数值实验290

第21章 复数柱函数系列积分变换293

21.1 复数柱函数变换293

21.1.1 基本公式293

21.1.2 复数柱函数变换性质294

21.1.3 复数柱函数变换表295

21.2 有限复数柱函数变换296

21.2.1 基本公式296

21.2.2 有限复数柱函数变换表296

21.3 复数球柱函数变换296

21.3.1 基本公式296

21.3.2 复数球柱函数变换性质297

21.4 有限复数球柱函数变换299

21.5 变形复数柱函数变换299

21.5.1 基本公式299

21.5.2 变形复数柱函数变换性质301

21.6 有限变形复数柱函数变换301

21.7 变形复数球柱函数变换301

21.7.1 基本公式301

21.7.2 变形复数球柱函数变换性质303

21.8 有限变形复数球柱函数变换303

21.9 多重复数柱函数变换303

21.9.1 二重复数柱函数变换基本公式303

21.9.2 二重复数球柱函数变换基本公式304

21.9.3 二重变形复数柱函数变换基本公式304

21.9.4 二重变形复数球柱函数变换基本公式305

21.9.5 三重复数柱函数变换基本公式305

第22章 各向异性波动方程解析解306

22.1 圆柱坐标系下二维各向异性波动方程306

22.2 圆柱坐标系下三维各向异性波动方程310

22.3 球坐标下下球膜二维各向异性波动方程315

22.4 球坐标系下三维各向异性波动方程318

22.5 极坐标系下圆薄膜二维各向异性波动方程324

22.6 球坐标系下球膜二维各向异性波动方程的缔合复数球带面函数解328

参考文献332