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引言1

第一章 线性不变量理论的基本概念初步3

A一般线性不变量理论概述3

1线性代换.不变量的概念3

2 GraBmann层量6

3关于我们的量丛（特别是GraBmann层量）的几何意义10

4二次型及其不变量12

5关于二次型的等价16

6由一个二次型确定仿射度量20

7关于含同步变量的双线性型和含逆步变量的双线性型22

B线性不变量理论的意义随向量分析的引入而导致的扩充26

1关于Erlangen纲领26

2对三维空间的特殊考察28

3四元数插话30

4过渡到向量代数和张量代数的基本概念33

5向量分析（张量分析）的引入36

6向量学中的不变量理论表述40

7关于在Maxwell的Treatise（通论）之后向量学在各国的发展42

第一章注释44

第二章 力学与数学物理中的狭义相对论49

A经典天体力学与Galilei-Newton群的相对论49

1从n体问题的微分方程看群的定义和意义49

2 关于经典力学n体问题的10个通积分53

B Maxwell电动力学和Lorentz群的相对论55

Ⅰ导论55

1自由以太的Maxwell方程组55

2正交形式下的Lorentz群57

3返回到x，y，z，t60

4 谈电学和原子的概念在Maxwell的通论发表（1873）后的发展61

5 关于20世纪以前对Maxwell理论的数学处理62

6 关于Lorentz群的发展过程64

7 关于新学说的进一步的传播.1911年及1909年以后的发展69

Ⅱ在正交形式下Lorentz群的处理72

1 相应四维分析纲要72

2 再谈四元数76

3 关于用积分关系式来代替Maxwell方程组80

4 四维势以及与之相关的变分定理83

5 我们的四维分析在具体问题上的应用举例86

6 Lorentz群的相对论91

Ⅲ回归Lorentz群的实数关系92

1导论93

2 几何的辅助概念95

3 借助进一步的几何运算完善我们的物理世界图像103

4 关于偏微分方程？2F/？x2+…-1/c2 ？2F/？t2=0的求积简史107

5初等光学，特别是几何光学，作为Maxwell方程组的第一级近似111

C关于力学与Lorentz群的相对论的相适应112

1从Lorentz群向Galilei-Newton群的极限过渡112

2 单个质点的动力学115

3 谈刚体的理论117

结束语122

第二章注释122

第三章 以二次微分形式为基础的解析点变换群125

A经典力学的一般Lagrange方程125

引言125

1 Lagrange方程及其G8群的引入127

2 Lagrange方程的G8群和Galilei-Newton群.Copernicus坐标系和Ptolemy坐标系130

3简化变分原理，过渡到几何132

B建立在GauB的《Disquisitiones circa superficies curvas（曲面理论的一般研究）》的基础之上的二维流形的内蕴几何学134

1 概述134

2关于测地线的微分方程136

3在不变量理论框架中GauB曲面论中几个最简单的定理和概念138

4谈GauB全曲率概念的引入139

5关于在任意给定的ds2下全曲率K的解析表示141

6 Riemann公式的证明以及几种相应的计算144

7关于两个二元ds2之间的等价.全曲率为常量时的详情147

C n维Riemann流形Ⅰ.形式基础149

1历史简述149

2 只有一阶微分的微分形式151

3 关于Riemann全曲率的开场白153

4 测地线方程以及与之相关的不变量156

5 Riemann的[Ω]157

6 Riemann全曲率的计算公式159

D n维Riemann流形Ⅱ.正规坐标.几何意义160

1Riemann正规坐标及其所属的ds2的结构160

2限制到O的最近的邻域.KR的一般几何意义162

3 位置不变量K的几何意义163

4 最简单的方向不变量的几何意义过渡到平均曲率K（n-1）165

5 在零全曲率空间或定常全曲率空间中的等价问题167

E Riemann之后的若干进一步发展170

1 1870年前后出现的一些人物的个性以及他们的后续影响170

2 Beltrami的构造不变量的方法171

3 Lipschitz与Christoffel：通过微分和消元法，特别是通过“逆步微分”构造不变量174

4谈Christoffel在1869年的论文176

5 用无限小变换表征不变量（Lie）180

6 关于一任意张量tik的向量散度182

结束语185

第三章注释185

附录Ⅰ Dr.Felix Klein：对新近以来几何学研究的比较考察187

附录Ⅱ Bernhard Riemann：单复变量函数一般理论基础215

附录Ⅲ Bernhard Riemann：论奠定几何学基础之假设247

附录Ⅳ Bernhard Riemann：对试图回答最著名的巴黎科学院所提出问题的数学评述259

人名索引295

专业名词索引299

译后记305