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第1章 量子力学的基本概念1

1-1物质的波粒二象性1

1.光的粒子性1

2.电子的波动性4

3.光子双缝干涉实验、不确定性关系和退相干原理5

1-2 Stern-Gerlach实验7

1.Stem-Gerlach实验与Uhlenbeck-Goudsmit假设7

2.多级Stem-Gerlach实验11

3.复空间13

1-3.量子力学的态空间与可观察量14

1.右矢空间（ket space）及其表象14

2.左矢空间（bra space）与内积16

3.算符的运算18

4.算符的矩阵表示20

5.若干定理21

6.自旋1/2系统23

1-4量子测量25

1.选择性测量25

2.期望值26

1-5相容的可观测量27

1.可观测量的相容性（compatiblity）与不相容性（non-compatiblity）27

2.相容的可观测量可具有相同的本征矢组28

3.简并与去简并31

4.相容的可观测量的测量32

1-6互不相容的可观测量32

1.互不相容的可观测量的测量32

2.不确定性关系33

3.表象变换35

4.幺正等价的可观测量38

习题39

第2章 位置算符、空间平移变换与动量算符42

2-1连续谱与位置算符42

1.分立谱与连续谱42

2.位置算符43

2-2空间平移变换与动量算符44

1.Hilbert空间中的无穷小平移变换44

2.Hilbert空间平移变换的产生子47

3.动量算符47

2-3基本对易关系与Dirac量子化规则49

1.位置坐标与动量算符的对易关系49

2.位置-动量的不确定性关系49

3.有限平移变换49

4.基本正则对易关系（Heisenberg正则对易关系）50

5.动量表象51

6.Dirac量子化规则52

2-4 波函数53

1.位置表象中的波函数53

2.动量表象中的波函数55

3.位置表象与动量表象之间的关系55

习题59

第3章 空间转动变换和角动量算符62

3-1空间转动与角动量算符62

1.三维Euclidian空间的转动及其产生子62

2.Hilbert空间中的转动与角动量算符64

3-2自旋角动量算符66

1.自旋为1/2的自旋角动量分量算符的自旋投影算符表达式66

2.Pauli旋量67

3.Pauli旋量的转动70

3-3自旋1/2系统的转动73

1.自旋1/2系统转动前后自旋角动量算符的期望值的变化73

2.自旋进动75

3.中子干涉77

3-4 Euler转动79

1.普通的三维空间中刚体的任意转动79

2.二维自旋空间的Euler转动81

3-5 角动量问题的一般解83

1.角动量阶梯算符83

2.J2和Jz的本征矢（即（J2，Jz）表象）84

3.角动量算符的矩阵元86

4.转动算符？（R）的矩阵元88

3-6 轨道角动量90

1.角动量算符对易关系的另一种实现（轨道角动量）90

2.轨道转动算符坐标态矢的作用90

3.轨道角动量算符在x表象中的表达式91

4.球谐函数95

5.球谐函数作为转动矩阵的矩阵元98

习题99

第4章 量子动力学102

4-1量子体系的时间演化102

1.时间演化算符102

2.Hamiltonian作为时间平移变换的产生子103

3.Schrodinger方程105

4-2 量子力学三大绘景105

1.Schrodinger绘景（或称为波动力学）105

2.时间演化算符的表达式106

3.Heisenberg绘景（或称为矩阵力学）107

4.相互作用绘景（Dirac绘景）109

5.Dyson级数111

6.基矢与跃迁振幅113

7.能量本征矢（Schrodinger绘景）与量子力学问题的基本解法114

4-3能量-时间不确定性关系116

1.Fourier带宽定理116

2.关联振幅、幸存概率和能量-时间不确定性关系117

3.Mandelstarn-Tamm不等式和时间-能量不确定性关系120

4.与态的半衰期和完全消亡时间有关的不等式121

4-4 Schrodinger波动方程123

1.含时Schrodinger波动方程123

2.定态Schrodinger波动方程124

3.与波函数有关的物理解释124

4.束缚态边界条件127

5.Virial定理128

6.Hellmann-Feynnan定理129

4-5简谐振子129

1.能量本征矢和能量本征值129

2.Fock空间（或粒子数表象）131

3.位置表象中的能量本征函数（波函数）132

4.粒子数表象中可观测量的矩阵元133

5.简谐振子系统中的位置-动量的不确定性关系134

6.简谐振子的时间演化（Heisenberg绘景）135

习题136

第5章 关于角动量的进一步讨论140

5-1两个角动量算符的合成140

1.复合系统（composite system）140

2.总角动量算符142

3.可对易的角动量算符的完备集合（两类基矢）143

5-2 Clebsch-Gordan系数145

1.Clebsch-Gordan系数的定义及其性质145

2.Clebsch-Gordan系数的递推关系149

3.Clebsch-Gordan级数150

5-3 角动量的Schwinger振子模型152

1.无耦合简谐振子152

2.由两类简谐振子的产生和湮没算符构造角动量算符153

3.构造角动量算符J 2和J z的共同本征态154

4.约化转动矩阵元的Wigner公式155

5-4 张量算符157

1.矢量算符157

2.Cartesian张量与球张量159

3.球张量算符160

4.两个球张量算符的乘积162

5.张量算符的矩阵元（Wigner-Eckart定理）164

6.投影定理（Wigner-Eckart定理的应用）166

习题168

第6章Galilean变换与非相对论量子力学170

6-1态矢与可观测量的对称变换170

1.对称变换170

2.Wigner定理171

3.产生子与单参数幺正连续变换173

附录：Wigner定理的证明174

6-2态矢与可观测量的Galilean变换180

1.普通的牛顿时空中的Galilean变换180

2.Hilbert空间中的Galilean变换181

3.Galilean变换对波函数的作用182

6-3 Galilean变换的产生子183

1.Galilean变换的10个产生子183

2.Galilean变换的产生子之间的一般对易关系183

6-4产生子之间的对易关系184

6-5中心荷188

1.可用自洽条件确定的中心荷188

2.可通过重定态矢相位消去的中心荷189

3.不可能消去的物理中心荷192

6-6确定动力学变量193

1.粒子位置算符和速度算符193

2.一个没有内部自由度的标量粒子的对称变换产生子的具体形式197

3.一个有自旋的自由粒子的对称变换产生子的具体形式200

4.一个处于外场中的标量粒子的对称变换产生子的具体形式201

5.一个没有内部自由度的标量粒子的位置算符Q和动量算符P的不可约性203

6-7自旋1/2粒子的非相对论波函数204

1.Schrodinger算符的开方204

2.非相对论自由粒子的两分量旋量方程206

6-8经典电磁场中的非相对论1/2旋量粒子（Pauli方程）207

1.最小耦合原则和局域规范不变性207

2.Pauli方程209

6-9自旋-轨道耦合210

1.自旋为1/2的带电粒子的Hamiltonian210

2.自旋-轨道耦合的唯象理论212

3.电子自旋角动量的运动方程213

4.Thomas自旋进动提供的附加贡献213

习题215

第7章 量子力学中的不连续对称性217

7-1对称性与守恒律217

1.经典力学中的对称性217

2.量子力学中的对称性218

3.对称性与简并219

4.反幺正算符219

7-2 空间反演与宇称算符221

1.空间反演变换及其性质221

2.态矢和波函数的空间反演224

7-3时间反演226

1.时间反演算符及其性质226

2.态矢和波函数的时间反演232

3.自旋1/2体系的时间反演234

4.时间反演下的Hermitian算符的期望值237

5.与电磁场的相互作用238

习题239

第8章 全同性242

8-1交换对称性242

1.全同粒子242

2.交换简并242

3.交换算符及其性质243

4.全同多粒子体系246

8-2 玻色子和费米子246

1.确定全同多粒子体系状态的困难及避开困难的办法246

2.Pauli不相容原理与Bose-Einstein凝聚248

3.全同粒子体系的态矢248

4.两电子体系249

8-3 置换对称性与Yong图252

1.SU （2）群表示和Yong图252

2.SU（3）群表示和Yong图255

3.两粒子体系的自旋态的置换对称性256

8-4 冷固体中的电子258

1.Sommerfeld自由电子气模型258

2.Bloch定理与能带结构260

习题263

第9章 近似方法265

9-1定态非简并微扰论265

1.完全Hamiltonian的本征值问题265

2.二能级系统265

3.定态非简并微扰展开267

4.波函数的归一化270

5.平方Stark效应272

9-2定态简并微扰论275

1.简并情形中的困难与避开困难的方法275

2.一级能移和简并子Hilbert空间中V的对角化276

3.扰动后态矢的一级修正277

4.二级能移278

5.线性Stark效应（均匀电场中原子能级移动称为Stark效应）279

9-3精细结构281

1.表象选择281

2.两分量自旋角函数281

3.能级移动（它们形成了能级的精细结构）285

9-4 Zeeman效应286

1.弱磁场极限下Zeeman效应（即反常Zeeman效应）286

2.强磁场极限下的Zeeman效应288

3.p电子的能级移动与外磁场强度的关系290

9-5半经典近似（WKB近似）290

1.定态Schrodinger方程的解290

2.Kramer连接公式293

3.束缚态297

4.势垒贯穿299

9-6变分法302

1.基态能必须满足的条件302

2.Ritz变分法302

3.Schrodinger变分原理303

4.线性变分法304

5.变分法的精度305

6.变分法的应用305

9-7氦原子307

1.微扰计算307

2.变分法计算309

3.激发态（全同性的量子效应）310

习题313

第10章 散射理论317

10-1 Lippmann-Schwinger方程317

1.与时间无关的弹性散射317

2.Green函数317

3.动量表象与位置表象中的Lippmann-Schwinger方程318

4.大距离性状与散射振幅321

5.散射截面322

10-2 Born近似323

1.跃迁算符323

2.Born 级数324

3.第一阶Bom近似325

4.光学定理327

10-3 Eikonal近似（半经典近似）329

1.Eikonal近似下的高能粒子的波函数329

2.Eikonal近似下的散射振幅331

3.光学定理332

10-4自由粒子态（平面波与球面波）332

1.自由粒子态的两种表示332

2.表象变换矩阵元〈p|E，l，m〉333

3.平面波｜p〉作为自由球面波的叠加335

4.｜E，l，m〉在位置表象中的波函数335

5.衰变产物的角分布336

10-5分波展开337

1.球对称势场中的跃迁算符337

2.球对称势场中的散射振幅337

3.球对称势场中的分波散射振幅338

4.对于径向波函数的积分方程339

10-6散射算符的幺正性与散射相移340

1.散射算符的幺正性340

2.分波散射相移341

3.分波散射截面341

4.验证光学定理342

5.Argand图342

6.Eikonal近似中的相移343

10-7确定散射相移的方法345

1.利用径向波函数在分界面上的连续性345

2.利用径向波函数的对数微商在分界面上的连续性347

3.利用散射相移的积分方程347

10-8硬球散射349

1.散射相移349

2.S波散射350

3.低能散射极限350

4.高能散射极限352

10-9散射中的对称性355

1.全同粒子散射355

2.幺正的对称操作对跃迁算符或散射振幅的作用358

3.反幺正的对称操作对跃迁算符或散射振幅的作用359

习题360

第11章 量子跃迁364

11-1跃迁振幅和跃迁概率364

1.跃迁振幅和跃迁概率的概念364

2.含时微扰论365

11-2跃迁率与Fermi黄金规则365

1.常微扰365

2.谐和微扰369

11-3光的吸收和受激辐射371

1.外电磁场中的原子371

2.光的吸收过程的跃迁率373

3.光的吸收截面373

4.电偶极（E1）近似374

5.选择定则375

6.Thomas-Reiche-Kuhn求和规则376

11-4 衰变宽度376

1.瞬时近似376

2.浸渐近似377

3.在浸渐近似下导出Fermi黄金规则378

4.衰变378

5.能极移动380

6.Breit-Wigner共振态公式381

11-5光电效应382

1.光电效应中光的吸收截面382

2.箱归一化382

3.末态的态密度与吸收微分截面383

4.跃迁矩阵元385

习题385

第12章 散射理论的进一步讨论388

12-1与时间有关的散射理论体系388

12-2基于含时微扰论的散射理论390

1.从含时微扰论导出Fermi黄金规则390

2.从含时微扰论计算散射截面390

12-3电子-原子非弹性散射391

1.弹性散射与非弹性散射391

2.电子-原子散射微分截面392

3.原子Coulomb势的矩阵元393

4.原子的跃迁形状因子394

5.用跃迁形状因子表示电子-原子散射微分截面394

6.荷电粒子穿越物质每单位长度的能量损失395

12-4核形状因子396

12-5低能散射和束缚态397

1.球对称势397

2.阈值性状398

3.有限深球对称势阱或势垒399

4.Ramsauer-Townsend效应（1923年）400

5.零能散射与束缚态401

6.分波散射振幅的极点与束缚态403

12-6共振散射405

1.束缚态和共振态405

2.Breit-Wigner共振态公式407

12-7 Coulomb散射407

1.非全同粒子的Coulomb散射407

2.全同玻色子的Coulomb散射412

3.全同费米子的Coulomb散射412

习题413

第13章 路径积分量子化与不可积相位417

13-1路径积分量子化417

1.Feynman基本假设417

2.半经典展开418

3.泛函积分测度418

4.归一化常数419

5.一维非相对论粒子的Feynman路径积分量子化419

6.与等时正则量子化比较420

7.一维非相对论自由粒子的Feynnan传播子422

8.导出Schrodinger方程423

13-2不可积相位与Aharonov-Bohm效应423

1.圆柱壳盒中的带电粒子423

2.不可积相位424

3.Aharonov-Bohm效应425

13-3磁单极子427

1.磁单极子的磁场427

2.磁单极子的矢势427

3.自洽条件与规范变换428

4.带电粒子的波函数428

5.Dirac电荷量子化条件429

13-4浸渐定理429

1.浸渐定理的内容429

2.含时Schrodinger方程解的一般形式430

3.浸渐定理的证明431

4.自洽性检验432

13-5 Berry相位432

1.Berry几何相位的定义432

2.Berry相位的规范对称性433

3.Berry相位赋值公式434

4.在外磁场中的自旋1/2粒子的Berry相位435

习题436

第14章 量子系综439

14-1密度算符439

1.极化粒子束和非极化粒子束439

2.密度算符的定义440

3.密度算符的性质440

4.系综的时间演化441

14-2连续谱表象中的系综442

1.可观察量在连续谱表象中的系综平均值442

2.密度矩阵p的一些重要性质442

3.热平衡系综的密度矩阵443

4.关于顺磁磁化率x的Brillouin公式445

14-3粒子束的极化446

1.极化算符446

2.散射粒子束的极化449

3.微分散射截面450

14-4自旋为1/2的粒子被无自旋靶的散射451

习题455

第15章Bell定理及其推论457

15-1 EPR佯谬457

15-2自旋关联457

15-3 Bell不等式460

1.Bell不等式的推导460

2.Bell定理（与量子力学比较）461

3.关于Bell定理的更严格的证明（即基于更少假设的证明）461

15-4极化关联463

1.双光子极化关联463

2.正电子偶素衰变464

3.激发态原子的j=0→1→0级联辐射465

4.实验检验466

15-5不用概率表示的Bell定理468

1.Kochen-Specker定理469

2.Bell定理的另一证明470

15-6关于Bell定理含义的初步讨论471

习题473

附录 基本物理常量表475

参考文献477

索引481