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第一章 函数的极限和连续1

1 基本内容之一 函数极限的概念1

一、极限概述1

二、极限的“ε—δ”定义4

三、极限方法的特点6

2 基本内容之二 极限的求法9

一、五种常见的求极限的方法9

二、几个值得注意的问题15

3 基本内容之三 函数的连续性17

一、函数连续性的概念17

二、连续与极限的关系、间断点的分类18

三、初等函数的连续性与闭区间上连续函数的性质22

4 难点分析 如何按定义证明极限24

一、证明的思路和步骤24

二、证题举例26

三、常见错误分析28

5 典型题解30

一、极限的概念和计算30

二、连续性的讨论和应用35

6 理论探讨40

一、复合函数极限定理的推广40

二、幂指函数求极限问题44

三、关于求极限过程中的等价无穷小代换47

思考题与测验题（一）47

第二章 一元函数微分学51

1 基本内容之一 微分学的主要概念——导数和微分51

一、关于导数概念的理解51

二、微分的地位和应用54

三、高阶导数与相关变化率57

2 基本内容之二 导数与微分的计算59

一、基本方法59

二、小结68

3 基本内容之三 中值定理和导数的应用69

一、中值定理69

二、罗必塔法则70

三、函数的单调性、极值与最大最小值问题71

四、曲线的凹凸性与拐点，函数图形的描绘75

五、曲率、方程的近似解76

4 难点分析77

一、正确运用复合函数求导法77

二、中值定理证题分析81

5 典型题解85

一、导数的概念和计算85

二、中值定理及其应用88

三、罗必塔法则91

四、函数性态的研究94

6 理论探讨97

一、最值问题的一点解释97

二、关于泰勒公式余项的估计98

三、如何利用导数求函数的单调区间99

四、取对数后求导数，结果怎样101

思考题与测验题（二）102

第三章 一元函数积分学109

1 基本内容之一 积分学的基本概念和思想方法109

一、原函数与不定积分109

二、定积分111

三、定积分的推广——两种广义积分115

2 基本内容之二 积分方法概要117

一、两类积分的桥梁：牛顿——莱布尼兹公式117

二、不定积分的基本思路和方法119

三、定积分的计算问题122

3 基本内容之三 定积分的应用125

一、所求量U能用定积分表示的条件125

二、用定积分表示量U的常用方法——元素法126

三、应用元素法建立定积分的几个例子127

四、定积分在几何、物理问题中的常用公式131

4 难点分析 怎样学习不定积分133

一、不定积分的根本原理：微分法的逆运算134

二、应用积分公式是不定积分的主要方法135

三、改变被积函数的形式使之与公式相符，是所有不定积分法的共同特征135

四、常用积分法的基本要领137

五、积分法的综合运用143

5 典型题解145

一、不定积分法145

二、定积分的计算、概念与证明149

三、定积分的应用156

四、广义积分161

6 理论探讨163

一、定积分换元条件的讨论163

二、元素法中的几个问题166

三、无界函数积分的特殊情况170

思考题与测验题（三）172

第四章 空间解析几何177

1 基本内容之一 向量代数177

一、空间直角坐标系与向量的基本概念177

二、向量的初等运算180

三、向量的乘积183

2 基本内容之二 空间的平面与直线185

一、空间图形一般方程的概念186

二、平面及其方程187

三、空间直线及其方程190

3 基本内容之三 空间的曲面与曲线194

一、球面、柱面、锥面与一般旋转曲面194

二、空间曲线及其在坐标面上的投影197

三、一般二次曲面200

4 难点分析205

一、怎样用向量方法解几何问题205

二、建立空间图形方程的方法209

三、空间图形的描绘213

5 典型题解219

一、向量概念与运算219

二、平面与直线的方程224

三、曲线与曲面229

6 理论探讨235

一、定比分点中λ≠-1的解释235

二、平面束方程的扩充237

三、关于旋转曲面方程求法240

思考题与测验题（四）242

第五章 多元函数微分学247

1 基本内容之一 多元函数的基本概念247

一、多元函数247

二、多元函数的极限249

三、多元函数的连续性254

2 基本内容之二 多元函数的微分法256

一、偏导数和全微分的概念与求法256

二、多元复合函数求导法则259

三、隐函数求导法262

3 基本内容之三 多元函数微分法的应用265

一、几何应用265

二、函数在点P沿某一方向变化率的研究269

三、多元函数的多项式逼近与近似计算273

四、二元函数的极值与最值问题275

4 难点分析278

一、多元复合函数的高阶偏导数280

二、隐函数的高阶偏导数282

三、综合求导问题285

四、变量替换与偏导数形式的转换287

5 典型题解290

一、多元函数基本概念290

二、多元函数微分法292

三、多元函数微分学的应用298

6 理论探讨303

一、多元复合函数的极限问题303

二、多元函数微分的叠加原理305

三、条件极值问题与拉格朗日乘数法307

四、曲面上一点处的法向量看作切向量的向量积310

思考题与测验题（五）311

第六章 多元函数积分学316

1 基本内容之一 重积分316

一、重积分的概念和性质316

二、重积分的计算317

三、重积分的应用327

2 基本内容之二 曲线积分与曲面积分328

一、曲线积分328

二、曲面积分335

三、多元函数积分的比较340

3 基本内容之三 三个转换公式及其应用341

一、三个转换公式与直接应用341

二、对积分与路径无关性的研究和应用347

三、公式的物理意义352

4 难点分析 多元函数积分的定限原理354

5 典型题解363

一、重积分部分363

二、曲线、曲面积分部分375

6 理论探讨383

一、区域对称性及函数奇偶性的有关概念383

二、利用对称性简化积分的基本命题386

三、对称性在积分中的应用举例396

思考题与测验题（六）398

第七章 无穷级数406

1 基本内容之一 常数项无穷级数406

一、常数项级数收敛与发散的概念406

二、正项级数的审敛法410

三、任意项级数的敛散性412

2 基本内容之二 幂级数415

一、函数项级数的一般概念415

二、幂级数的收敛性与函数展开成幂级数418

3 基本内容之三 付立叶级数423

一、付立叶级数及其收敛性424

二、函数展开成付立叶级数425

4 难点分析429

一、应用常数项级数审敛法的一般原则429

二、幂级数分析运算应用举例437

5 典型题解443

一、常数项级数部分443

二、幂级数部分449

三、付立叶级数部分457

6 理论探讨465

一、莱布尼兹审敛法中un≥un+1作用的分析465

二、函数的周期延拓和奇（偶）延拓468

思考题与测验题（七）474

第八章 常微分方程480

1 基本内容之一 微分方程的基本概念和初等积分法480

一、微分方程和微分方程的解480

二、初等积分法482

2 基本内容之二 线性方程与方程组及方程的幂级数解法490

一、线性微分方程解的结构490

二、二阶常系数线性微分方程493

三、常系数线性微分方程组的解法494

四、幂级数解法496

3 基本内容之三 微分方程的应用问题497

一、几何问题498

二、化学问题499

三、电学问题500

四、力学问题500

五、能量守恒问题501

六、战斗动态描述——兰切斯特方程502

七、物体冷却速度503

八、万有引力与行星运动504

4 难点分析505

一、积分因子公式及应用505

二、求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解要注意的几个问题511

三、应用问题的建模方法示例517

5 典型题解525

一、初等积分法525

二、二阶线性微分方程532

三、方程组解法和幂级数解法535

6 理论探讨540

一、用待定系数法解常系数非齐次线性微分方程，设特解时为什么不能缺项540

二、兰切斯特方程的解及其状态方程的讨论546

思考题与测验题（八）550

各学期课终模拟试题554

附录 思考题、测试题及课终模拟试题解答567

参考文献606