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第1章 曲线的几何性质1

1.1 引言1

1.2 弧长参数化9

1.3 Frenet公式11

1.4 非单位速度曲线19

1.5 曲率和挠率的一些结论24

1.6 格林定理及等周不等式27

1.7 几何曲线与Maple30

第2章 曲面47

2.1 引言47

2.2 曲面的几何性质54

2.3 曲面的线性代数61

2.4 法曲率65

2.5 曲面和Maple69

第3章 曲率77

3.1 引言77

3.2 曲率的计算80

3.3 旋转曲面86

3.4 高斯曲率公式89

3.5 曲率的一些结果92

3.6 德洛奈曲面97

3.7 椭圆函数、Maple和几何100

3.8 用Maple计算曲率109

第4章 常平均曲率的曲面118

4.1 引言118

4.2 极小曲面的基本概念120

4.3 极小化面积124

4.4 常平均曲率127

4.5 调和函数132

4.6 复变量134

4.7 等温坐标136

4.8 Weierstrass-Enneper表示137

4.9 Maple和极小曲面146

4.9.1 极小曲面作图146

4.9.2 极小曲面方程148

4.9.3 几何条件：旋转极小曲面148

4.9.4 代数条件150

4.9.5 Maple和极小化面积151

第5章 测地线、度量及等距154

5.1 引言154

5.2 测地线方程和克莱罗关系式158

5.3 关于完备性的简要讨论166

5.4 非R3中的曲面167

5.5 等距和共形映射173

5.6 测地线和Maple178

5.6.1 绘制测地线178

5.6.2 圆锥上的测地线183

5.6.3 圆柱上的测地线184

5.6.4 波状体曲面上的测地线186

5.6.5 非R3中曲面的测地线189

5.6.6 球极平面及墨卡托投射191

5.7 工业上的应用195

第6章 完整性及高斯-博内定理204

6.1 引言204

6.2 修正的共变微商206

6.3 平行向量场及完整性207

6.4 傅科摆210

6.5 角的剩余定理212

6.6 高斯-博内定理214

6.7 高斯-博内定理的应用216

6.8 测地极坐标220

6.9 Maple和完整性226

第7章 变分法和几何231

7.1 欧拉-拉格朗日方程231

7.2 横截性和自然边界条件236

7.3 基本例子239

7.4 高阶问题243

7.4.1 高阶欧拉-拉格朗日方程243

7.4.2 高阶自然边界条件248

7.5 魏尔斯特拉斯E-函数249

7.6 带约束条件的问题258

7.6.1 积分约束条件258

7.6.2 完整性约束条件262

7.6.3 微分方程约束条件265

7.7 微分几何与力学中的进一步应用267

7.8 庞特里亚金最大值原理275

7.9 关于气球形状的应用278

7.10 变分法和Maple285

7.10.1 基本欧拉-拉格朗日程序285

7.10.2 压力作用下的梁柱288

7.10.3 双摆292

7.10.4 被约束的粒子的运动294

7.10.5 Maple和聚酯薄膜气球296

第8章 高维略谈298

8.1 引言298

8.2 流形298

8.3 共变微商301

8.4 克利斯朵夫符号307

8.5 曲率312

8.6 有趣的双重性质323

附录 部分练习的提示及解答328

参考文献340

索引344