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第Ⅰ部分 预备知识3

第1章 统计学的内容3

1.1 统计学是什么3

1.2 描述性和推断性统计3

1.3 关于大气的不确定性4

第2章 概率论回顾6

2.1 背景6

2.2 概率的要素6

2.2.1 事件6

2.2.2 样本空间7

2.2.3 概率公理7

2.3 概率的意义8

2.3.1 频率解释8

2.3.2 贝叶斯（主观的）解释8

2.4 概率的性质9

2.4.1 域、子集、补集和并集9

2.4.2 德·摩根律（DeMorgan’s Laws）10

2.4.3 条件概率11

2.4.4 独立性11

2.4.5 全概率定理13

2.4.6 贝叶斯定理14

2.5 习题15

第Ⅱ部分 单变量统计19

第3章 经验分布与探索性资料分析19

3.1 背景19

3.1.1 鲁棒性和抗干扰性19

3.1.2 分位数20

3.2 数字归纳度量21

3.2.1 位置21

3.2.2 离散度21

3.2.3 对称性22

3.3 图形归纳方法23

3.3.1 茎叶显示图23

3.3.2 箱线图（boxplots）25

3.3.3 示意图25

3.3.4 箱线图的其他变异图27

3.3.5 柱状图（直方图）28

3.3.6 核密度平滑29

3.3.7 累积频率分布33

3.4 重新表示（reexpression）35

3.4.1 幂变换35

3.4.2 标准化距平39

3.5 成对资料的探索技术41

3.5.1 散点图（Scatterplots）41

3.5.2 皮尔逊（普通）相关42

3.5.3 Spearman秩相关和Kendall’s τ相关46

3.5.4 序列相关47

3.5.5 自相关函数48

3.6 高维资料的探索性方法49

3.6.1 星形图50

3.6.2 符号（glyph）散点图50

3.6.3 旋转散点图52

3.6.4 相关矩阵53

3.6.5 散点图矩阵54

3.6.6 相关图55

3.7 习题57

第4章 参数概率分布59

4.1 背景59

4.1.1 参数与经验分布59

4.1.2 什么是参数分布59

4.1.3 参数与统计量60

4.1.4 离散与连续分布60

4.2 离散分布60

4.2.1 二项分布60

4.2.2 几何分布63

4.2.3 负二项分布64

4.2.4 泊松分布66

4.3 统计期望68

4.3.1 随机变量的期望值68

4.3.2 随机变量函数的期望值68

4.4 连续分布70

4.4.1 分布函数与期望值70

4.4.2 高斯分布72

4.4.3 伽马分布78

4.4.4 贝塔分布84

4.4.5 极值分布85

4.4.6 混合分布90

4.5 拟合优度的定性评估92

4.5.1 拟合的参数分布与资料柱状图的叠加92

4.5.2 分位数-分位数（Q-Q）图94

4.6 使用最大似然拟合参数95

4.6.1 似然函数95

4.6.2 牛顿-拉夫逊（Newton-Raphson）方法96

4.6.3 EM算法97

4.6.4 最大似然估计的抽样分布99

4.7 统计模拟99

4.7.1 均匀随机数生成器100

4.7.2 通过逆变换进行的非均匀随机数生成101

4.7.3 借助于拒绝方法的非均匀随机数生成103

4.7.4 生成高斯随机数的Box-Muller方法104

4.7.5 根据混合分布与核密度估计进行模拟104

4.8 习题105

第5章 频率统计推断108

5.1 背景108

5.1.1 参数与非参数推断108

5.1.2 抽样分布108

5.1.3 任何假设检验的基本要素109

5.1.4 检验水平和p值109

5.1.5 错误类型和检验能力110

5.1.6 单侧与双侧检验111

5.1.7 置信区间：转化的假设检验111

5.2 一些常见的参数检验114

5.2.1 单样本t检验114

5.2.2 独立情况下平均值差值的检验115

5.2.3 成对样本平均值差异的检验117

5.2.4 序列不独立情况下平均值差值的检验118

5.2.5 拟合优度检验120

5.2.6 似然比检验127

5.3 非参数检验128

5.3.1 对位置的经典非参数检验128

5.3.2 Mann-Kendall趋势检验134

5.3.3 对重新抽样检验的介绍136

5.3.4 置换（permutation）检验137

5.3.5 自助法（Bootstrap）139

5.4 多重性与“场的显著性”144

5.4.1 独立检验的多重性问题145

5.4.2 场的显著性和错误发现率146

5.4.3 场的显著性与空间相关147

5.5 习题150

第6章 贝叶斯推断152

6.1 背景152

6.2 贝叶斯推断的结构152

6.2.1 连续变量的贝叶斯理论152

6.2.2 推断和后验分布155

6.2.3 先验分布的作用156

6.2.4 预测分布157

6.3 共轭分布158

6.3.1 共轭分布的定义158

6.3.2 二项分布的资料生成过程158

6.3.3 泊松资料生成过程161

6.3.4 高斯资料生成过程164

6.4 困难积分的处理166

6.4.1 马尔科夫链的蒙特卡洛（MCMC）方法166

6.4.2 Metropolis-Hastings算法167

6.4.3 Gibbs取样器（Sampler）170

6.5 习题172

第7章 统计预报173

7.1 背景173

7.2 线性回归173

7.2.1 简单线性回归173

7.2.2 残差的分布175

7.2.3 方差分析表177

7.2.4 拟合优度度量177

7.2.5 回归系数的抽样分布179

7.2.6 诊断残差181

7.2.7 预报区间185

7.2.8 多元线性回归187

7.2.9 多元回归中导出的预报因子变量188

7.3 非线性回归191

7.3.1 广义线性模型191

7.3.2 Logistic回归191

7.3.3 泊松回归195

7.4 预报因子的选择196

7.4.1 为什么精心选择预报因子是重要的196

7.4.2 筛选预报因子199

7.4.3 停止准则201

7.4.4 交叉验证203

7.5 使用传统统计方法的客观预报205

7.5.1 经典的统计预报205

7.5.2 完美预报（PP）和MOS207

7.5.3 业务的MOS预报212

7.6 集合预报214

7.6.1 概率的场预报214

7.6.2 相空间中的随机动力系统215

7.6.3 集合预报217

7.6.4 选择初始集合成员218

7.6.5 集合平均和集合离散度219

7.6.6 集合预报信息的图形显示220

7.6.7 模式误差的影响227

7.7 集合MOS228

7.7.1 为什么集合需要后处理228

7.7.2 回归方法229

7.7.3 核密度（集合“加工（Dressing）”）方法233

7.8 主观概率预报235

7.8.1 主观预报的性质235

7.8.2 主观分布236

7.8.3 中心置信区间预报236

7.8.4 评估离散概率238

7.8.5 评估连续分布239

7.9 习题240

第8章 预报检验242

8.1 背景242

8.1.1 预报检验的目的242

8.1.2 预报和观测的联合分布243

8.1.3 预报性能的标量属性244

8.1.4 预报技巧245

8.2 离散预报量的非概率预报246

8.2.1 2×2的列联表246

8.2.2 2×2列联表的标量性质247

8.2.3 对2×2列联表的技巧评分250

8.2.4 哪种评分253

8.2.5 概率到非概率预报的转换253

8.2.6 对多种类离散预报量的扩展255

8.3 连续预报量的非概率预报260

8.3.1 条件分位数图260

8.3.2 标量精确性量度标准260

8.3.3 技巧评分262

8.4 离散预报量的概率预报264

8.4.1 二分类事件的联合分布264

8.4.2 Brier评分265

8.4.3 Brier评分的代数分解266

8.4.4 可靠性图268

8.4.5 判别图272

8.4.6 对数或无知评分273

8.4.7 ROC图274

8.4.8 模棱两可的预报（hedging）和严格正确的评分规则277

8.4.9 多分类事件的概率预报278

8.5 连续预报量的概率预报281

8.5.1 完全的连续预报概率分布281

8.5.2 中心置信区间预报283

8.6 对场的非概率预报284

8.6.1 对场预报的综合考虑284

8.6.2 S1评分286

8.6.3 均方误差287

8.6.4 距平相关291

8.6.5 基于空间结构的场检验293

8.7 集合预报的检验295

8.7.1 好的集合预报的特征295

8.7.2 检验秩柱状图297

8.7.3 最小生成树（MST）柱状图300

8.7.4 遮蔽和限界盒301

8.8 基于经济价值的检验301

8.8.1 最优决策和花费/损失比问题301

8.8.2 价值评分303

8.8.3 与其他检验方法的关系304

8.9 观测不确定时的检验305

8.10 对检验统计量的抽样和推断306

8.10.1 列联表统计量的抽样特征307

8.10.2 ROC图的抽样特征309

8.10.3 Brier评分和Brier技巧评分推断310

8.10.4 可靠性图的抽样特征311

8.10.5 再抽样检验统计量312

8.11 习题313

第9章 时间序列317

9.1 背景317

9.1.1 平稳性317

9.1.2 时间序列模型318

9.1.3 时域方法与频域方法318

9.2 时域——I.离散资料318

9.2.1 马尔科夫链318

9.2.2 两状态的一阶马尔科夫链319

9.2.3 独立性检验与一阶序列依赖性检验322

9.2.4 两状态马尔科夫链的一些应用324

9.2.5 多状态马尔科夫链325

9.2.6 高阶马尔科夫链326

9.2.7 马尔科夫链阶数的选择327

9.3 时域——Ⅱ.连续资料329

9.3.1 一阶自回归329

9.3.2 更高阶的自回归332

9.3.3 AR（2）模型333

9.3.4 阶数选择标准336

9.3.5 时间平均的方差337

9.3.6 自回归滑动平均模型339

9.3.7 用连续时域模型模拟和预报340

9.4 频域——Ⅰ.谐波分析343

9.4.1 余弦（Cosine）和正弦（Sine）函数343

9.4.2 用谐波函数表示一个简单的时间序列344

9.4.3 单个谐波振幅和位相的估计346

9.4.4 更高的谐波349

9.5 频域——Ⅱ.谱分析351

9.5.1 作为不相关回归预报因子的谐函数351

9.5.2 周期图或傅里叶线谱353

9.5.3 计算谱356

9.5.4 混频357

9.5.5 自回归模型的谱359

9.5.6 谱估计的抽样性质361

9.6 习题366

第Ⅲ部分 多变量统计371

第10章 矩阵代数与随机矩阵371

10.1 多元统计的背景371

10.1.1 多元统计与一元统计之间的比较371

10.1.2 资料和基本符号的组织371

10.1.3 普通一元统计的多元扩展372

10.2 多元变量的距离373

10.2.1 欧氏距离373

10.2.2 马氏（统计）距离374

10.3 矩阵代数回顾375

10.3.1 向量375

10.3.2 矩阵377

10.3.3 方阵的特征值和特征向量384

10.3.4 对称矩阵的平方根387

10.3.5 奇异值分解（SVD）389

10.4 随机向量与矩阵390

10.4.1 一元变量概念的期望值及其他扩展390

10.4.2 分块向量和矩阵391

10.4.3 线性组合392

10.4.4 再谈马氏距离394

10.5 习题395

第11章 多元正态（MVN）分布397

11.1 MVN的定义397

11.2 MVN的四个便捷属性399

11.3 评估多元正态性401

11.4 来自多元正态分布的模拟404

11.4.1 模拟独立的MVN变量404

11.4.2 模拟多元时间序列405

11.5 关于多元正态平均向量的推断407

11.5.1 多元中心极限定理408

11.5.2 Hotelling的T2408

11.5.3 同时的置信陈述413

11.5.4 多元统计显著性的解释416

11.6 习题418

第12章 主分量（EOF）分析420

12.1 主分量分析基础420

12.1.1 PCA的定义420

12.1.2 基于协方差矩阵的PCA与基于相关矩阵的PCA424

12.1.3 PCA的各种术语427

12.1.4 PCA中的尺度化规则428

12.1.5 与多元正态分布的联系429

12.2 PCA在地球物理领域的应用430

12.2.1 单一场的PCA430

12.2.2 多个场同时的PCA432

12.2.3 方差的尺度化考虑和均衡434

12.2.4 区域大小的影响：布伊尔（Buell）模态434

12.3 主分量的截断435

12.3.1 为什么截断主分量435

12.3.2 主观截断标准436

12.3.3 基于最后保留的特征值大小的标准437

12.3.4 基于假设检验思想的标准438

12.3.5 基于保留的主分量中结构的标准439

12.4 特征值和特征向量的抽样性质439

12.4.1 多元正态资料的渐进抽样结果439

12.4.2 有效的多重态440

12.4.3 North等的经验法则（大拇指标准）441

12.4.4 抽样分布的自助（bootstrap）近似443

12.5 特征向量的旋转443

12.5.1 为什么旋转特征向量443

12.5.2 旋转机理444

12.5.3 正交旋转对初始特征向量尺度的敏感性446

12.6 计算上的考虑448

12.6.1 从[S]中直接提取特征值和特征向量448

12.6.2 通过SVD做PCA449

12.7 PCA另外的一些应用450

12.7.1 奇异谱分析（SSA）：时间序列的PCA450

12.7.2 主分量回归453

12.7.3 Biplot454

12.8 习题455

第13章 典型相关分析（CCA）456

13.1 CCA基础456

13.1.1 回顾456

13.1.2 典型变量、典型向量和典型相关456

13.1.3 CCA另外的一些性质458

13.2 CCA应用到场462

13.2.1 转换典型向量为图462

13.2.2 CCA与PCA组合463

13.2.3 用CCA做预报463

13.3 计算上的考虑466

13.3.1 通过直接的特征分解计算CCA466

13.3.2 通过SVD做CCA467

13.4 最大协方差分析（MCA）469

13.5 习题471

第14章 判别与分类472

14.1 判别与分类的比较472

14.2 将两个总体分开472

14.2.1 等协方差结构：Fisher的线性判别472

14.2.2 Fisher多元正态资料的线性判别476

14.2.3 最小化误分类的期望花费476

14.2.4 不相等的协方差：二次判别478

14.3 多重判别分析（MDA）479

14.3.1 超过两组时Fisher的步骤479

14.3.2 最小化误分类的期望花费482

14.3.3 概率分类482

14.4 用判别分析做预报483

14.5 经典判别分析的替代方法485

14.5.1 使用logistic回归的判别与分类485

14.5.2 使用核密度估计的判别与分类486

14.6 习题487

第15章 聚类分析488

15.1 背景488

15.1.1 聚类分析与判别分析488

15.1.2 距离度量和距离矩阵488

15.2 逐级聚类489

15.2.1 使用距离矩阵的归并方法489

15.2.2 Ward的最小方差法491

15.2.3 树状图或树图491

15.2.4 分为多少类492

15.2.5 分割法496

15.3 非逐级聚类496

15.3.1 K-均值法496

15.3.2 有核的归并聚类497

15.3.3 用混合分布聚类497

15.4 习题498

附录499

附录A 书中例子的资料集499

附录B 概率表501

附录C 习题答案507

参考文献515