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第一章 数列极限及其基本性质1

1.1 知识点1

1.2 知识要素1

1.2.1 数列极限的定义1

1.2.2 数列极限的分析性质4

1.2.3 数列极限的运算性质5

1.3 应用事例8

1.3.1 基础性分析8

1.3.2 化成无穷小量进行分析8

1.3.3 证明无穷小量的充分性方法9

1.3.4 Stolz定理9

1.4 建立方式10

第二章 数列极限的分析12

2.1 知识点12

2.2 知识要素12

2.2.1 确界定义及其基本性质12

2.2.2 单调有界数列必收敛13

2.2.3 闭区间套定理14

2.2.4 有界点列必有收敛子列15

2.2.5 数列极限的Cauchy收敛原理15

2.3 应用事例16

2.3.1 单调有界数列必收敛16

2.3.2 数列极限的Cauchy收敛原理20

2.3.3 子列相关结论22

2.4 拓广深化23

2.4.1 压缩映照定理及其应用23

2.4.2 数列的上下极限27

2.5 建立方式29

第三章 函数的极限31

3.1 知识点31

3.2 知识要素31

3.2.1 函数极限的定义31

3.2.2 函数极限的分析性质35

3.2.3 函数极限的运算性质38

3.3 应用事例42

3.4 建立方式43

第四章 函数的连续性44

4.1 知识点44

4.2 知识要素44

4.2.1 连续性的极限定义44

4.2.2 单调性相关的函数极限46

4.2.3 基本初等函数的连续性51

4.2.4 基本初等函数的反函数52

4.3 拓广深化53

4.3.1 函数极限的振幅刻画53

4.3.2 函数的确界55

4.4 建立方式58

第五章 函数极限的意义59

5.1 知识点59

5.2 知识要素59

5.2.1 函数的局部多项式逼近59

5.2.2 Landau符号的意义60

5.2.3 基本初等函数的低阶多项式逼近63

5.3 应用事例64

5.3.1 x→0的情形64

5.3.2 x→x0≠0的情形65

5.4 建立方式69

第六章 函数的导数70

6.1 知识点70

6.2 知识要素70

6.2.1 函数导数的极限定义70

6.2.2 函数导数的运算性质71

6.2.3 复合函数的导数72

6.2.4 基本初等函数的导数74

6.2.5 高阶导数76

6.3 应用事例76

6.3.1 导数相关分析性质76

6.3.2 基于充分性方法77

6.3.3 分段函数的导数85

6.3.4 高阶导数90

6.4 建立方式95

第七章 闭区间上连续函数的性质96

7.1 知识点96

7.2 知识要素96

7.2.1 闭区间上连续函数基本性质（内部无可导性）96

7.2.2 闭区间上连续函数基本性质（内部有可导性）99

7.2.3 中值定理102

7.2.4 反函数与其导数的存在性106

7.2.5 函数在区间上的一致连续性108

7.3 应用事例114

7.3.1 函数在区间上的一致连续性114

7.4 拓广深化116

7.4.1 插值公式116

7.4.2 差分公式118

7.5 建立方式120

第八章 无限小增量公式与有限增量公式122

8.1 知识点122

8.2 知识要素122

8.2.1 获得无限小增量公式122

8.2.2 获得有限增量公式124

8.3 应用事例127

8.3.1 有关极值的充分与必要性结论127

8.3.2 Lagrange余项中因子的极限128

8.3.3 基本初等函数Taylor展开的误差估计与Taylor级数131

8.3.4 近似公式及其误差估计132

8.4 建立方式133

第九章 函数局部行为的研究（复杂函数的极限）135

9.1 知识点135

9.2 知识要素135

9.2.1 获得复杂函数局部多项式逼近的基本方法135

9.2.2 Bernoulli-L'Hospital法则138

9.3 应用事例143

9.3.1 基本初等函数的多项式逼近143

9.3.2 一般函数的多项式逼近145

9.3.3 复杂函数的极限（基于多项式逼近）148

9.3.4 复杂函数的极限（基于Bernoulli-L'Hospital法则）159

9.3.5 利用函数极限研究点列极限160

9.4 拓广深化161

9.4.1 力学中的微元分析161

9.5 建立方式163

第十章 函数局部行为的研究（平面曲线的相关研究）164

10.1 知识点164

10.2 知识要素164

10.2.1 平面曲线的刻画形式164

10.2.2 平面曲线的基本几何性质168

10.2.3 渐屈线和渐伸线176

10.3 应用事例178

10.4 拓广深化179

10.4.1 自然基下的平面运动方程179

10.4.2 极坐标系下的平面运动方程183

10.4.3 向量的绝对变化率与相对变换率185

10.5 建立方式188

第十一章 函数全局行为的研究（函数定性作图）189

11.1 知识点189

11.2 知识要素189

11.2.1 渐近线189

11.2.2 单调性191

11.2.3 凹凸性191

11.2.4 函数的定性作图195

11.3 应用事例203

11.3.1 双曲函数的图像203

11.3.2 Monge型函数的定性作图208

11.3.3 参数形式函数的定性作图212

11.4 拓广深化218

11.4.1 分叉现象218

11.4.2 迟滞现象222

11.5 建立方式230

第十二章 函数全局行为的研究（全局行为的相关分析）231

12.1 知识点231

12.2 知识要素231

12.2.1 最值问题231

12.2.2 函数及其导函数的界的估计232

12.2.3 不等式232

12.3 应用事例233

12.3.1 最值问题233

12.3.2 函数及其导函数的界的估计235

12.3.3 不等式240

12.4 建立方式244

第十三章 Riemann积分的实际来源及数学定义245

13.1 知识点245

13.2 知识要素245

13.2.1 Riemann积分定义的实际来源245

13.2.2 Riemann积分的定义246

13.2.3 Riemann积分的基本分析性质248

13.3 建立方式249

第十四章 Riemann积分的分析理论（Darboux估计与可积函数类）251

14.1 知识点251

14.2 知识要素251

14.2.1 Darboux和的估计251

14.2.2 Riemann可积的判别法255

14.2.3 Riemann可积函数类258

14.3 拓广深化260

14.3.1 集合运算基础260

14.3.2 Lebesgue-Stieltjes测度261

14.4 建立方式274

第十五章 Riemann积分的分析理论（基本性质与关系式）275

15.1 知识点275

15.2 知识要素275

15.2.1 基本性质275

15.2.2 积分等式278

15.2.3 积分不等式281

15.2.4 积分逼近关系286

15.3 应用事例289

15.3.1 积分基本性质289

15.3.2 积分不等式290

15.4 建立方式294

第十六章 Riemann积分的应用理论295

16.1 知识点295

16.2 知识要素295

16.2.1 数学实验——实验结果可直接确认为真理295

16.2.2 数学实验——实验结果需经实践检验297

16.3 拓广深化305

16.3.1 力学中的相关应用305

16.3.2 曲线上积分307

16.4 应用事例311

16.5 建立方式311

第十七章 Riemann积分的计算理论（不定积分）313

17.1 知识点313

17.2 知识要素313

17.2.1 基本初等函数的积分313

17.2.2 第一类换元法315

17.2.3 第二类换元法315

17.2.4 分部积分法316

17.2.5 被积函数的有理化处理316

17.2.6 二项微分式的积分326

17.2.7 三角有理函数的积分327

17.3 应用事例328

17.3.1 第一类换元法328

17.3.2 第二类换元法330

17.3.3 分部积分法336

17.3.4 有理化341

17.3.5 三角有理函数的积分354

17.4 建立方式358

第十八章 Riemann积分的计算理论（定积分）359

18.1 知识点359

18.2 知识要素359

18.2.1 原函数359

18.2.2 第一类换元法360

18.2.3 第二类换元法361

18.2.4 分部积分法362

18.3 应用事例362

18.3.1 换元法362

18.3.2 分部积分法365

18.3.3 以积分限为自变量的函数的求导366

18.3.4 利用定积分求点列极限367

18.4 建立方式370

第十九章 广义积分371

19.1 知识点371

19.2 知识要素371

19.2.1 广义积分的背景及定义371

19.2.2 广义积分的敛散性372

19.3 应用事例377

19.3.1 被积函数含有三角函数的敛散性分析377

19.3.2 被积函数含有lnx的敛散性分析384

19.4 建立方式391

第二十章 常微分方程基础392

20.1 知识点392

20.2 知识要素392

20.2.1 一阶常微分方程392

20.2.2 二阶常微分方程396

20.3 应用事例401

20.3.1 一般事例401

20.3.2 结合实际背景的事例409

20.4 拓广深化421

20.4.1 实变量复值函数421

20.5 建立方式427

第二十一章 一元微积分的综合应用428

21.1 知识点428

21.2 知识要素428

21.2.1 椭圆积分的背景及其定义428

21.2.2 质点在非光滑斜面上的运动431

21.2.3 弹道方程435

21.2.4 Huygens等时摆439

21.2.5 悬链线方程441

21.2.6 二体问题443

21.3 建立方式448

索引449

插图454

参考文献460