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第一章 绪论1

1.1 数值分析研究对象与特点1

1.2 数值计算的误差3

1.2.1 误差来源与分类3

1.2.2 误差与有效数字4

1.2.3 数值运算的误差估计8

1.3 误差定性分析与避免误差危害10

1.3.1 病态问题与条件数11

1.3.2 算法的数值稳定性12

1.3.3 避免误差危害的若干原则14

习题18

评注18

第二章 插值法21

2.1 引言21

2.2 拉格朗日插值23

2.2.1 线性插值与抛物插值23

2.2.2 拉格朗日插值多项式26

2.2.3插值余项与误差估计28

2.3 均差与牛顿插值公式31

2.3.1 均差及其性质31

2.3.2 牛顿插值公式33

2.4 差分与等距节点插值35

2.4.1 差分及其性质35

2.4.2 等距节点插值公式38

2.5 埃尔米特插值41

2.6 分段低次插值45

2.6.1 高次插值的病态性质45

2.6.2 分段线性插值47

2.6.3 分段三次埃尔米特插值48

2.7 三次样条插值51

2.7.1 三次样条函数51

2.7.2 样条插值函数的建立52

2.7.3 误差界与收敛性57

评注58

习题58

3.1.1 函数逼近与函数空间61

第三章 函数逼近与曲线拟合61

3.1 函数逼近的基本概念61

3.1.2 范数与赋范线性空间64

3.1.3 内积与内积空间65

3.2 正交多项式69

3.2.1 正交函数族与正交多项式69

3.2.2 勒让德多项式71

3.2.3 切比雪夫多项式74

3.2.4 其他常用的正交多项式77

3.3 最佳一致逼近多项式78

3.3.1 基本概念及其理论78

3.3.2 最佳一次逼近多项式81

3.4.1 最佳平方逼近及其计算83

3.4 最佳平方逼近83

3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近87

3.5 曲线拟合的最小二乘法90

3.5.1 最小二乘法及其计算90

3.5.2 用正交多项式做最小二乘拟合96

3.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换99

3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值99

3.6.2 快速傅氏变换(FFT)102

3.7 有理逼近108

3.7.1 有理逼近与连分式108

3.7.2 帕德逼近110

评注114

习题115

第四章 数值积分与数值微分118

4.1 引言118

4.1.1 数值求积的基本思想118

4.1.2 代数精度的概念120

4.1.3 插值型的求积公式121

4.1.4 求积公式的收敛收与稳定性122

4.2 牛顿-柯特斯公式123

4.2.1 柯特斯系数123

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度125

4.2.3 几种低阶求积公式的余项126

4.3 复化求积分公式127

4.3.1 复化梯形公式128

4.3.2 复化辛普森求积公式129

4.4 龙贝格求积公式131

4.4.1 梯形法的递推化131

4.4.2 龙贝格算法133

4.4.3 理查森外推加速法135

4.5 高斯求积公式139

4.5.1 一般理论139

4.5.2 高斯-勒让德求积公式144

4.5.3 高斯-切比雪夫求积公式146

4.6 数值微分148

4.6.1 中点方法与误差分析148

4.6.2 插值型的求导公式150

4.6.3 利用数值积分求导153

4.6.4 三次样求导155

4.6.5 数值微分的外推算法156

评注157

习题158

第五章 解线性方程组的直接方法161

5.1 引言与预备知识161

5.1.1 引言161

5.1.2 向量和矩阵162

5.1.3 特殊矩阵163

5.2 高斯消去法165

5.2.1 高斯消去法166

5.2.2 矩阵的三角分解172

5.3 高斯主元素消去法174

5.3.1 列主元素消去法176

5.3.2 高斯-若当消去法180

5.4 矩阵三解分解法183

5.4.1 直接三解分解法183

5.4.2 平方根法188

5.4.3 追赶法193

5.5 向量和矩阵的范数196

5.6 误差分析205

5.6.1 矩阵的条件数205

5.6.2 迭代改善法212

5.7 矩阵的正交三角化及应用214

5.7.1 初等反射阵215

5.7.2 平面旋转矩阵218

5.7.3 矩阵的QR分解220

5.7.4 求解超定方程组225

评注228

习题229

第六章 解线性方程组的迭代法233

6.1 引言233

6.2 基本迭代法236

6.2.1 雅可比迭代法237

6.2.2 高斯-塞德尔迭代法238

6.2.3 解大型稀疏线性方程组的逐次超松驰迭代法240

6.3.1 一阶定常迭代法的基本定理243

6.3 迭代法的收敛性243

6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性249

6.4 分块迭代法256

评注259

习题259

第七章 非线性方程求根261

7.1 方程求根与二分法261

7.1.1 引言261

7.1.2 二分法262

7.2 迭代法及其收敛性265

7.2.1 不动点迭代法265

7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性267

7.2.3 局部收敛性与收敛阶269

7.3 迭代收敛的加速方法272

7.3.1 埃特金加速收敛方法272

7.3.2 斯蒂芬森迭代法273

7.4 牛顿法276

7.4.1 牛顿法及其收敛性276

7.4.2 牛顿法应用举例278

7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法279

7.4.4 重根情形282

7.5 弦截法与抛物线法283

7.5.1 弦截法283

7.5.2 抛物线法285

7.6 解非线性方程组的牛顿迭代法287

评注289

习题290

第八章 矩阵特征值问题计算292

8.1 引言292

8.2 幂法及反幂法299

8.2.1 幂法299

8.2.2 加速方法304

8.2.3 反幂法308

8.3 豪斯霍尔德方法312

8.3.1 引言312

8.3.2 用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格阵313

8.3.3 用正交相似变换约化对称阵对称三对角阵317

8.4.1 QR算法319

8.4 QR方法319

8.4.2 带原点多移的QR方法322

8.4.3 用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值325

8.4.4 双平QR方法(隐式QR方法)329

评注333

习题333

第九章 常微分方程初值问题数值解法336

9.1 引言336

9.2 简单的数值方法与基本概念337

9.2.1 欧拉法与后退欧拉法337

9.2.2 梯形方法340

9.2.3 单步法的局部截断误差与阶341

9.2.4 改进的欧拉公式343

9.3 龙格-库塔法的一般形式344

9.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式344

9.3.2 二阶显式R-K方法346

9.3.3 三阶与四阶显式R-K方法348

9.3.4 变步长的龙格-库塔方法351

9.4单步法的收敛性与稳定性352

9.4.1 收敛性与相容性352

9.4.2 绝对稳定性与绝对稳定域355

9.5 线性多步法360

9.5.1 线性多步法的一般公式360

9.5.2 阿当姆斯显式与隐式公式362

9.5.3 米尔尼方法与辛普森方法366

9.5.4 汉明方法367

9.5.5 预测-校正方法368

9.5.6 构造多步法公式的注记和例371

9.6 方程组和高阶方程373

9.6.1 一阶方程组373

9.6.2 化高阶方程为一阶方程组376

9.6.3 刚性方程组378

评注380

习题381

计算实习题383

附录 并行算法及其基本概念388

参考文献398

部分习题答案400