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第一编 数量1

第一章 数系及其运算1

第一节 自然数1

一、 基础命题 单位和自然数——算术基本定理——Peano公理1

二、 素数 素数个数无限——从自然数判别素数的方法——表示素数的公式——素数在自然数中的分布——素数分布的某些猜想——对自然数具有某种性质的猜想5

三、 完美数 简史——完美数表——研究工作记事——完美数性质29

四、 相亲数 简史——相亲数链——倒数和的倒数和36

五、 Fermat数 简史——是合数的Fn表——Fermat小定理、Fermat大定理与Fermat数——两个其他的问题43

六、 Mersenne数 简史——研究工作记事——检测轶闻——找寻最大素数的意义——Mersenne数猜想——MersenneMn=2n-1数表49

第二节 分数58

一、 普通分数 分数记法——分数基本性质——约分与最大公约数——通分与最小公倍数——分数的四则运算58

二、 单位分数 简史——单位分数构造法——化单位1为单位分数和——真分数与单位分数——《莱因得纸草》第4题68

三、 循环小数 七个命题——例题举隅——Gauss的素数倒数表80

四、 连分数？化为连分数——？化为连分数（c为非完全平方自然数）——连分数与渐近分数——超越数与连分数85

五、 Farey分数数列 简史——Farey数列的性质94

第三节 负数96

一、 三家之言96

二、 正负术97

三、 外国对负数概念引入轶事——Diophantus——Brahmagup-ta——al-Khowarizmi——Fibonacci——西方对负数的排斥意见——西方对负数概念的建树99

第四节 无理数102

一、 古希腊的无理数观102

二、 东方人的无理数观 中国——印度104

三、 无理数研究记事107

四、 代数数与超越数108

第五节 虚数111

一、 虚数概念的萌芽状态111

二、 16世纪后的工作111

概说115

第二章 算术问题及其解法115

一、 单假设法119

二、 归一算法122

三、 双假设法124

四、 还原法131

五、 比例算法133

第一节 四则运算140

第二节 定和问题145

一、 一元问题146

二、 二元问题149

三、 三元问题155

四、 四元（及以上）问题157

一、 一关问题159

二、 二关问题159

第三节 余数问题159

三、 三关问题161

四、 四关（及以上）问题163

第四节 盈亏问题170

第五节 互给问题172

一、 二人问题172

二、 三人问题175

三、 四人（及以上）问题177

第六节 合作问题179

一、几人合作一事179

一、 一人经营几事183

二、 第三类型184

第七节 行程问题190

一、 等速直线运动190

二、 变速直线运动196

三、 圆周运动203

第八节 比例问题205

一、 正比例206

二、 反比例209

三、 连比例212

四、 复比例216

五、 分配比例220

第九节 数列问题230

一、 分配比例（续）230

二、 等差数列239

三、 等比数列244

第三章 代数问题及其解法250

概说250

一、 求根公式 一次方程——二次方程——三次方程——四次方程——五次（及五次以上）方程——二项方程257

第一节 适定方程257

二、 数值解方程 北宋贾宪——南宋秦九韶——中世纪中亚与西欧——日本——19世纪欧洲278

三、 线性方程组解法 特殊形式——一般形式——行列式286

四、 多项式理论 代数基本定理——根与系数的关系——因式定理——方程变换——符号法则——方程的不可约性质300

第二节 不定方程——一次问题307

一、 凑答数、消去法 齐次不定方程组——一般不定方程组308

二、 二元不定问题 库塔卡（解二元一次不定方程ax-by=c）——大衍求一术（解一次同余式ax≡c(mod b)）313

三、 多元不定问题 中国剩余定理——秦九韶大衍总数术——Gauss《算术探讨》322

第三节 不定方程——二次问题350

一、 勾股数公式 埃及——巴比伦——希腊——中国——印度350

二、 三元（及以上）不定问题357

三、 Pell方程 简史——印度数学家的功勋——太阳神牧牛——梅峰寺的传说359

四、 队列变形 方队与正三角形队——方队与正六角形队——正六角形与正三角形队——方变锐阵370

第四节 不定方程——高次问题380

一、 Waring问题380

二、 Fermat大定理 简史——研究工作记事381

第二编 图形387

第四章 平面图形387

概说387

一、 出入相补原理 出入相补原理与面积的现代定义——面积相等与分割相等388

二、 尺规作图适用的范围 问题的提出——尺规作图的能与不能——例题举隅——生锈（不能开合）的圆规392

第一节 点、直线与角398

一、 点398

二、 线段 黄金分割——积幂等式——Euler定理398

三、 直线404

四、 角 三等分一角——用尺规以外工具的作法——无限等分——可以用尺规三等分的角——近似作法406

第二节 特殊三角形416

一、 等腰三角形Steiner——Lehmer定理——简史——证法416

二、 正三角形Viviani定理——与外接圆关系——与内切圆关系——两个正三角形间关系——三个正三角形间关系——极值422

三、 垂足三角形 三角形垂线平分垂足三角形内角——三角形边平分垂足三角形外角——周长——面积——外接圆——内切圆——旁切圆429

四、 直角三角形 勾股定理——简史——历史名证——勾股定理的推广433

五、 Heron三角形 构造法——性质——《数理精蕴》——特例447

第三节 一般三角形453

一、 三角形内的点 五心——Brocard点——形内任一点453

二、 三角形与直线 共点线与共线点——顶点到对边上一点连线长——三角形内一点到重心的距离——中线、高及角平分线的长度461

三、 三角形与三角形 与正三角形有关的命题——透视变换——相似三角形——天体测量——地面测量468

四、 三角形与圆 双圆三角形——三角形内互切三圆——九点圆——九点圆与内切圆、旁切圆相切493

五、 三角形、圆与直线 Simson线514

六、 三角形面积 埃及——中国和希腊——东方其他国家——三角形内的直线形面积520

第四节 特殊四边形531

一、 正方形（长方形）531

二、 梯形（菱形、筝形）537

三、 平行四边形542

一、 不外切于圆也不内接于圆 Newton的工作——Varignon的工作——八点圆——作图题——面积543

第五节 一般四边形543

二、 内接于圆 Euclid《原本》——Ptolemy的工作——Brahmagupta的工作——Regiomontanus的工作——四线共点555

三、 外切于圆 Newton的工作563

四、 双圆四边形 Fuss的工作564

第六节 六边形570

一、 内接于圆Pascal定理——简史570

二、 外切于圆 Brianchon定理574

第七节 正多边形（等分圆周）577

一、 正方形、正五边形、正六边形及其派生正多边形 正方形——正六边形——正五边形——正五边形近似作法——正十五边形——正3×2k,4×2k,5×2k,15×2k边形——竞赛题举隅578

二、 正七边形与正九边形——七（九）等分圆周是尺规作图不能问题——用尺规以外的工具——近似作法——竞赛题一则586

三、 正十七边形、正257与正65 537边形Z3-1=0和25-1=0-27-1=0和Z9-1=0-217-1=0-serret作图法——正257边形和正65537边形597

四、 正n边形近似作图法606

第八节 圆607

一、 圆周长 古世界圆周率——圆周率的几何计算——圆周率的表达式——实验法求圆周率——圆周率研究中的重要创见和纪录——圆周长的近似作法607

二、 圆面积 东西方著例——化圆为方——等积变换——等分圆面积629

三、 圆、弧与线段 皮匠刀形（续）——折弦问题——丰富的三角学内涵——蝴蝶定理——证法集锦——定理的推广——割线问题637

四、 圆与圆 Apollonius（十个）问题——第十个问题649

第九节 曲线658

一、 代数曲线 圆锥曲线——三次曲线——四次曲线——卵形曲线658

二、 非代数曲线 蔷薇曲线——旋轮线——螺线——曳物线——悬链线669

第五章 立体图形686

第一节 四面体686

一、 鳖臑体积686

二、 出入相补原理（续）687

三、 三角形与四面体 五心——四面体上的Leibniz公式——在计算公式中三角形和四面体的对应关系——三角形面积与四面体体积692

第二节 五面体700

一、 阳马体积700

二、 羡除体积702

三、 刍甍体积704

第三节 六面体705

一、 立方倍积 简史——用尺规以外工具的作法705

二、 方台体积714

三、 长方台体积716

四、 立（长）方体的其他命题719

第四节 拟柱体与中国堤积公式720

一、 拟柱体 梯形与拟柱720

二、 中国堤积公式723

第五节 正多面体与半正多面体727

一、 正多面体 互容正多面体的构造727

二、 半正多面体 简史——半正多面体的构造736

三、 球 两种十二点球745

二、 牟合方盖体积745

一、 圆台体积745

第六节 曲面体745

第三编 睿智751

第六章 错觉与悖论751

第一节 错觉751

一、 视力错觉 视似实非——光学效果751

二、 似是而非 论证过程——论证方法760

第二节 悖论774

一、 语言悖论776

二、 数学悖论 第一次危机——第二次危机——第三次危机778

第七章 拓扑学与图论783

第一节 拓扑学784

一、 Euler示性数 网络——凸n面体面角和——正多面体只有五种——半正多面体只有十三种——正多边形覆盖平面784

二、 Mǒbius带798

三、 交点与纽结 交点——纽结——纽结例选801

四、 Klein瓶807

五、 四色猜想 简史——五色猜想——为五种正多面体着色810

第二节 图论818

一、 一笔画与迷宫 Kǒnigsberg七桥问题——迷宫818

二、 渡河问题 Alcuin《益智题集》——其他题材829

三、 Hamilton周游世界问题 简史——解法838

四、 完美正方形 简史——完美正方形构造法——余音842

第八章 组合数学与运筹学861

第一节 计数862

一、 棋局都数862

二、 杨辉三角形与朱世杰恒等式865

三、 Goldbach多边形分块公式865

第二节 构造866

一、 梵塔866

二、 幻方 简史——幻方构造法——杨辉所作六阶、九阶幻方——特种幻方——珍品鉴赏——幻方与等幂和数组——拓广869

三、 抽屉原理 数量——图形——染色问题905

四、 Kirkman15名女学生问题925

五、 Euler方阵 简史——某些Euler方阵构造法——Euler方阵与幻方——三维Euler方阵——优美Euler方阵929

第三节 构造（续）940

一、 Nim游戏 抢30——Nim游戏940

二、 称重 求砝码个数——称出假珍珠944

三、 Josephus问题 简史——问题举隅——问题的解952

四、 分油 问题选录——问题的解962

五、 十五子棋 简史——讨论和分析——推广——华容道975

第四节 优化984

历史名题举隅 田忌赛马——运粮之法——五等收粮——一举而三役济984

第九章 极值与极限989

第一节 极值989

一、 线段长度 Schwarz问题——Fermat问题——Steiner问题——三角形的外接圆、内切圆半径——等积问题991

二、 图形面积 三角形——四边形——多边形——圆1004

三、 立体体积 蜂房问题——球1013

四、 时间 反射与折射——最速降线1022

五、 数量1029

第二节 数列1029

一、 高阶等差数列1031

二、 贾宪三角形1042

三、 自然数幂数列 问题的提出——Alhazen的工作——关孝和的工作——Bernoulli的工作——李善兰的工作1052

四、 Fibonacci数列 简史——通项公式及其分布——代数性质——数论问题——几何应用——同一问题的不同提法——0.618倍加数列1065

第三节 极限1089

一、 数列极限1090

二、 数列与级数1091

三、 两种极限1093

四、 历史名题Zeno悖论——愚公移山——庄周名辩——圆面积——棱锥体积——圆台体积——牟台方盖体积——球体积——曲线上给定点切线的斜率——曲线覆盖下的面积——自然数幂倒数级数——级数求和的困惑——谜样的图形长度、面积和体积1094

五、 穷竭法、穷举证法与极限1138

第十章 拾贝1142

第一节 数量1143

一、 猜数 年、月、日、星期——默认一个数1143

二、 填数字 Athena的故事——虫蚀算——字数对应1147

三、 填运算符号 在相同数字间填符号——在不同数字0，1～9间（依序，或逆序）填符号——组成分数使等于定值1155

四、 数异 变换——素数1161

五、 题异 余数问题——卖蛋——分遗产1175

第二节 图形1178

一、 益智游戏 火柴游戏——拼板——连点——折纸1178

二、 剪拼 希腊十字——正方形——其他图形1208

三、 镶嵌 平面问题——立体问题——榫卯和斗栱1228

第三节 巧合1249

索引1255

后记1281