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前言页1

第一章 整数1

1.1 交换环·整环1

1.2 交换环的基本性质3

1.3 有序整环的性质9

1.4 良序原则12

1.5 数学归纳法·指数定律14

1.6 可除性18

1.7 欧几里得算法19

1.8 算术基本定理25

1.9 同余式27

1.10 环Zn32

1.11 集合·函数·关系35

1.12 同构与自同构39

第二章 有理数和域42

2.1 域的定义42

2.2 有理数域的构造47

2.3 联立线性方程53

2.4 有序域58

2.5 正整数公设61

2.6 皮亚诺公设65

第三章 多项式69

3.1 多项式形式69

3.2 多项式函数73

3.3 交换环的同态78

3.4 多元多项式81

3.5 辗转相除法84

3.6 单位与相伴86

3.7 不可约多项式90

3.8 唯一因子分解定理92

3.9 其他唯一因子分解整环97

3.10 爱森斯坦不可约判别准则102

3.11 部分分式104

第四章 实数110

4.1 毕达哥拉斯二难推论110

4.2 上界与下界112

4.3 实数公设115

4.4 多项式方程的根118

4.5 戴德金分割122

5.1 复数的定义127

第五章 复数127

5.2 复平面130

5.3 代数基本定理134

5.4 共轭数与实多项式138

5.5 二次方程与三次方程140

5.6 四次方程的根式解法143

5.7 稳定型方程145

第六章 群147

6.1 正方形的对称147

6.2 变换群149

6.3 其他例子155

6.4 抽象群157

6.5 同构162

6.6 循环群165

6.7 子群169

6.8 拉格朗日定理173

6.9 置换群176

6.10 偶置换与奇置换181

6.11 同态183

6.12 自同构·共轭元素186

6.13 商群190

6.14 等价关系与同余关系193

第七章 矢量与矢量空间198

7.1 平面矢量198

7.2 推广199

7.3 矢量空间与子空间202

7.4 线性无关与维数207

7.5 矩阵与行等价212

7.6 线性相关的检验215

7.7 矢量方程·齐次方程221

7.8 基底与坐标系226

7.9 内积233

7.10 欧几里得矢量空间235

7.11 标准正交基238

7.12 商空间242

7.13 线性函数与对偶空间244

第八章 矩阵代数251

8.1 线性变换与矩阵251

8.2 矩阵加法258

8.3 矩阵乘法260

8.4 对角矩阵·置换矩阵·三角形矩阵266

8.5 长方矩阵269

8.6 逆矩阵275

8.7 秩与零度281

8.8 初等矩阵284

8.9 等价与标准型290

8.10 双线性函数与张量积293

8.11 四元数298

数学符号表303

索引305

9.1 基底的变换319

第九章 线性群319

9.2 相似矩阵与特征矢量322

9.3 全线性群与仿射群328

9.4 正交群与欧几里得群333

9.5 不变量与标准型338

9.6 线性型与双线性型342

9.7 二次型345

9.8 全线性群之下的二次型349

9.9 全线性群之下的实二次型351

9.10 正交群之下的二次型356

9.11 仿射群和欧几里得群之下的二次型361

9.12 酉矩阵与埃尔米特矩阵366

9.13 仿射几何371

9.14 射影几何379

第十章 行列式与标准型386

10.1 行列式的定义和基本性质386

10.2 行列式的乘积392

10.3 作为体积的行列式396

10.4 特征多项式402

10.5 极小多项式407

10.6 凯莱-哈密顿定理412

10.7 不变子空间与可约性414

10.8 第一分解定理419

10.9 第二分解定理422

10.10 有理标准型与若当标准型425

第十一章 布尔代数与格429

11.1 基本定义429

11.2 定律：同算术定律类比431

11.3 布尔代数434

11.4 其他基本定律的推导437

11.5 布尔多项式的标准型441

11.6 半序445

11.7 格448

11.8 集合表示452

第十二章 超限算术457

12.1 数与集合457

12.2 可数集460

12.3 其他基数463

12.4 基数的加法与乘法467

12.5 取幂470

13.1 环473

第十三章 环与理想473

13.2 同态477

13.3 商环482

13.4 理想的代数486

13.5 多项式理想490

13.6 线性代数中的理想494

13.7 环的特征496

13.8 域的特征499

第十四章 代数数域501

14.1 代数扩张与超越扩张501

14.2 域上的代数元素504

14.3 根的添加507

14.4 次数与有限扩张511

14.5 多重代数扩张514

14.6 代数数519

14.7 高斯整数523

14.8 代数整数527

14.9 代数整数的和与积530

14.10 二次代数整数的因子分解534

第十五章 伽罗瓦理论538

15.1 方程的根域538

15.2 唯一性定理541

15.3 有限域543

15.4 伽罗瓦群546

15.5 可分多项式与不可分多项式552

15.6 伽罗瓦群的性质555

15.7 子群与子域559

15.8 三次不可约方程563

15.9 五次方程的不可解性568

文献目录574

数学符号表578

索引580