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第1章 复变函数论1

1.1 复数1

1.1.1 复数的定义1

1.1.2 复数的运算2

1.1.3 复数的几何表示3

习题1.17

1.2 复变函数的概念8

1.2.1 区域的定义与分类9

1.2.2 复变函数的单值性要求与黎曼面10

习题1.213

1.3 复变函数的微分及解析函数的定义13

1.3.1 复变函数的连续性13

1.3.2 复变函数的导数及解析函数的定义13

1.3.3 柯西-黎曼条件14

1.3.4 利用柯西-黎曼条件确定解析函数16

1.3.5 解析函数的特性18

习题1.320

1.4 复变函数的积分20

1.4.1 复变函数积分的定义21

1.4.2 柯西积分定理21

1.4.3 柯西积分公式24

习题1.426

1.5 解析函数的幂级数展开27

1.5.1 幂级数27

1.5.2 泰勒级数30

1.5.3 洛朗级数34

1.5.4 复变函数的零点与奇点37

习题1.539

1.6 留数定理40

1.6.1 留数的定义41

1.6.2 留数定理及证明41

1.6.3 留数的求法42

1.6.4 无穷远点处函数的留数及留数和定理43

习题1.644

1.7 留数定理在实变函数积分中的应用45

1.7.1 类型一：∞∫-∞ f（x）dx型积分45

1.7.2 类型二：∞∫-∞ f（x）e imx dx型积分48

1.7.3 类型三：2π∫-0 f（cosθ，sinθ）dθ型积分51

1.7.4 具有支点的函数的积分55

习题1.757

1.8 复变函数的色散关系58

第2章 积分变换61

2.1 傅里叶级数61

2.1.1 周期函数的傅里叶级数展开61

2.1.2 复数形式的傅里叶级数64

2.1.3 有限区间上函数的傅里叶级数展开66

2.1.4 多重傅里叶级数展开69

习题2169

2.2 傅里叶积分变换70

2.2.1 傅里叶积分变换的概念70

2.2.2 傅里叶变换的基本性质72

习题2.275

2.3 δ-函数简介76

2.3.1 δ-函数的定义76

2.3.2 δ-函数的性质78

2.3.3 δ-函数的导数80

2.3.4 δ-函数的傅里叶变换81

2.3.5 利用δ-函数讨论某些典型函数的傅里叶变换85

2.3.6 傅里叶变换的积分定理86

2.3.7 有限区间上5-函数的傅里叶级数展开87

习题2.388

2.4 拉普拉斯变换89

2.4.1 拉普拉斯变换的定义89

2.4.2 拉普拉斯变换的性质91

习题2.495

2.5 拉普拉斯变换在常微分方程求解中的应用95

习题2.597

第3章 数学物理方程98

3.1 波动问题98

3.1.1 波动方程（双曲型方程）的导出99

3.1.2 定解问题的建立104

3.1.3 有限区间齐次方程齐次边条件波动定解问题的分离变量法求解108

3.1.4 有限区间非齐次方程齐次边条件定解问题的分离变量法求解117

3.1.5 有限区间非齐次边条件定解问题的求解124

3.1.6 积分变换法求解无界和半无界弦振动问题125

习题3.1134

3.2 输运问题135

3.2.1 输运方程（抛物型方程）的导出及其定解问题的确立135

3.2.2 有限区间上输运方程的分离变量法求解140

3.2.3 无界与半无界区间上输运问题的求解145

习题3.2150

3.3 稳定场问题151

3.3.1 稳定场方程（椭圆方程）及其定解问题的确立151

3.3.2 有限区间上稳定场问题的分离变量法求解152

3.3.3 无界区域上稳定场问题的求解159

习题3.3160

3.4 施图姆-刘维尔本征值问题160

3.4.1 施图姆-刘维尔本征值问题的概念161

3.4.2 本征函数族的正交性与广义傅里叶级数162

习题3.4163

第4章 二阶线性常微分方程165

4.1 线性齐次常微分方程解的线性相关性165

习题4.1167

4.2 二阶齐次常微分方程的级数解法167

4.2.1 方程正常点邻域内的解168

4.2.2 方程奇点邻域内的解171

4.2.3 级数解法小结179

习题4.2180

4.3 二阶非齐次常微分方程180

第5章 三维曲线坐标系下分离变量法与特殊函数183

5.1 正交曲线坐标系184

习题5.1187

5.2 球坐标系下拉普拉斯方程定解问题求解187

5.2.1 勒让德多项式及轴对称系统拉普拉斯方程的求解190

5.2.2 缔合勒让德函数与一般球函数203

习题52208

5.3 柱坐标系下拉普拉斯方程定解问题求解209

5.3.1 整数阶贝塞尔方程及其解212

5.3.2 m-阶贝塞尔函数Jm（x）及诺伊曼函数Nm（x）的性质217

5.3.3 虚宗量贝塞尔方程及其解218

5.3.4 贝塞尔方程的本征值问题220

5.3.5 柱状体系中拉普拉斯方程求解范例224

习题5.3228

5.4 亥姆霍兹方程在球坐标系和柱坐标系下的求解问题228

5.4.1 球坐标系下亥姆霍兹方程的求解228

5.4.2 柱坐标系下亥姆霍兹方程的求解235

习题5.4235

5.5 贝塞尔函数的应用235

习题5.5238

第6章 格林函数法239

6.1 无界空间泊松方程的格林函数241

习题6.1242

6.2 镜像法求解格林函数243

习题6.2246

6.3 不同边值问题的格林函数246

6.4 亥姆霍兹方程的格林函数248

习题6.4251

6.5 波动方程的格林函数求解251

主要参考书目254

索引255