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第一章 泛函分析中的特殊问题1

1 引言1

1．可和函数1

2．hōlder不等式和minkowski不等式3

3．逆h？lder不等式和逆minkowski不等式8

2 lp空间的基本性质9

1．范数、定义9

2．riesz-fichera定理12

3．lp中函数的整体连续性12

4．均值函数14

5．可数稠密网17

3 lp上的线性泛函18

1．定义、线性泛函的有界性18

2．clarkson不等式19

3．关于线性泛函的一般形式的定理24

4．泛函的收敛性27

4 lp空间的紧性31

1．紧性的定义31

2．关于弱紧性的定理31

3．关于强紧性的定理33

4．强紧性定理的证明34

5 广义导数37

1．基本定义37

2．均值函数的导数、广义导数的存在性39

3．微分法则41

4．与区域的无关性44

6 位势型积分的性质46

1．位势型积分、连续性46

2．属于lq·的性质47

7 l(l)p和(l)p空间49

1．定义49

2．l(l)p中的范数50

3．w(l)p的分解及其赋范52

4．w(l)p的特殊分解55

8 嵌入定理62

1．w(l)p嵌入c62

2．w(l)p嵌入lq＊63

3．例子64

9 w(l)p的一般赋范方法和嵌入定理的推论67

1．关于等价范数的定理67

2．与给定范数等价的范数的一般形式69

3．与特定范数等价的范数71

4．球投影算子72

5．非星形域73

6．例子74

10 嵌入定理的某些推论76

1．w(l)p空间的完备性76

2．w(l)p嵌入w(l)pk77

3．w(l)p中的不变赋范80

11 嵌入算子的全连续性（Кондрашов定理）82

1．问题的提出82

2．关于特殊积分在c中的紧性引理83

3．关于积分在lq＊中的紧性引理84

4．嵌入c内的嵌入算子的全连续性90

5．嵌入lq＊内的嵌入算子的全连续性92

第二章 数学物理中的变分方法94

12 dirichlet问题94

1．引言94

2．变分问题的解95

3．dirichlet问题的解98

4．dirichlet问题解的唯一性101

5．hadamard的例子105

13 neumann问题106

1．问题的提出106

2．变分问题的解107

3．neumann问题的解109

14 多重调和方程111

1．w(m)2中函数在各种维数的边界流形附近的性质111

2．基本边界问题的提出113

3．变分问题的解114

4．基本边界问题的解116

15 多重调和方程的基本边界问题的解的唯一性120

1．问题的提出120

2．引理121

3．区域qk-q3k的结构123

4．当k≤［s/2］时引理的证明125

5．当k=［s/2］＋1时引理的证明127

6．当［s/2］＋2≤k≤m时引理的证明130

7．关于边界问题提法的注132

16 特征值问题132

1．引言132

2．辅助不等式133

3．极小化序列和变分方程135

4．后续特征函数的存在性141

5．特征值的无穷序列144

6．特征函数集的封闭性145

第三章 双曲型偏微分方程理论149

17 具有光滑初始条件的波动方程的cauchy问题的解149

1．基本不等式的推导149

2．解及其导数增长的估计152

3．特殊初始条件下的解154

18 波动方程的广义cauchy问题158

1．两次连续可微的解158

2．例161

3．广义解163

4．初值的存在164

5．广义cauchy问题的解167

19 变系数线性正规双曲型方程（基本性质）168

1．特征和次特征168

2．特征劈锥175

3．在标准坐标下的方程177

4．在极坐标下的基本算子m(0)与l(0)179

5．锥面上的一组基本关系式184

20 具有光滑系数的线性方程的cauchy问题185

1．与基本组中算子共轭的算子185

2．函数σi的作法187

3．函数σ的性质的研究190

4．基本积分恒等式bu=sf的推导192

5．逆积分算子b-1与逐步逼近法194

6．共轭积分算子b＊197

7．共轭积分算子s＊201

8．偶数个自变量的cauchy问题的解202

9．奇数个自变量的cauchy问题204

21 变系数的线性双曲型方程的研究205

1．化简方程205

2．广义解的cauchy问题的提法208

3．基本不等式210

4．关于近似解的估计式的引理214

5．广义cauchy问题的解220

6．古典cauchy问题的提法221

7．关于导数估计式的引理224

8．古典cauchy问题的解227

注释228

附录 线性正规双曲型方程cauchy问题的新解法249

1 基本恒等式250

1．cauchy问题250

2．预备性的讨论251

3．给定函数各阶导数间的某些关系255

4．构造函数σr257

5．第一基本恒等式263

6．逐步逼近法和第二基本公式268

7．第一个解法271

2 泛函空间271

1．基本泛函空间271

2．泛函的某些重要例子、泛函的逼近定理273

3．线性算子的某些重要例子、共轭算子274

4．泛函空间中的cauchy问题276

3 广义cauchy问题278

1．基本逆算子的研究278

2．双曲型空间280

3．与g共轭的算子281

4．逆问题282

5．在泛函空间中算子l的右逆和左逆283

6．广义cauchy问题的存在性和唯一性284

7．在古典意义下解的存在性285

附录的注释286

参考文献303

补充参考文献319