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第一章 概论1

1.1什么是数学建模2

1.1.1从示例看数学建模2

1.1.2数学模型与数学建模4

1.2建立数学模型的一般过程或步骤5

1.3数学建模的基本方法和模型分类8

1.3.1数学建模的基本方法8

1.3.2数学模型的分类9

1.4常见的初等数学建模方法9

1.4.1比例建模方法9

1.4.2量纲分析方法12

1.4.3枚举法14

1.4.4逻辑问题建模方法15

1.4.5利用规律建模方法17

1.5建模竞赛论文写作18

1.5.1建模竞赛论文的一般结构19

1.5.2撰写建模竞赛论文应注意的事项21

1.6理解数学问题21

1.6.1正问题与反问题21

1.6.2建模案例23

思考与练习一34

第二章 MATLAB快速入门36

2.1 MATLAB概述37

2.1.1 MATLAB简介38

2.1.2 MATLAB的安装与启动39

2.1.3 MATLAB桌面环境简介40

2.2 MATLAB数值计算功能45

2.2.1 MATLAB数据类型45

2.2.2变量与常量46

2.2.3 MATLAB数值计算47

2.2.4常见大学数学课程中有关问题的MATLAB求解53

2.3 MATLAB程序设计基础56

2.3.1关系与逻辑运算56

2.3.2创建M文件57

2.3.3 MATLAB数据流控制语句59

2.3.4常用基本函数64

2.4 MATLAB绘图65

2.4.1二维图形的绘制65

2.4.2三维图形的绘制77

2.4.3利用符号函数作图86

2.4.4利用菜单栏进行交互式图形编辑91

思考与练习二92

第三章 插值方法93

3.1一维插值94

3.1.1基本概念94

3.1.2利用待定系数法确定插值多项式95

3.1.3拉格朗日插值方法98

3.1.4分段插值104

3.1.5一维分段插值的MATLAB实现109

3.2二维插值115

3.2.1网格节点插值法115

3.2.2散乱数据插值法117

3.2.3二维插值的MATLAB实现118

3.3应用案例121

思考与练习三125

第四章 数据拟合方法127

4.1线性最小二乘拟合方法128

4.1.1直线拟合问题128

4.1.2一般意义下的线性最小二乘方法133

4.1.3最小二乘多项式拟合135

4.2非线性最小二乘拟合方法137

4.3用MATLAB求解数据拟合问题138

4.3.1最小二乘多项式拟合138

4.3.2非线性最小二乘拟合139

4.3.3交互式曲线拟合144

4.4应用案例：给药方案问题145

思考与练习四149

第五章 差分方程建模方法151

5.1差分方程建模152

5.2差分方程组建模155

5.3差分方程（组）的稳定性理论159

5.3.1基本概念和定解理论159

5.3.2差分方程的平衡点及稳定性161

5.4应用案例：最优捕鱼策略162

思考与练习五168

第六章 微分方程建模方法169

6.1常微分方程问题的数学模型169

6.1.1再论导弹追踪169

6.1.2传染病预测问题173

6.1.3单一种群的增长问题177

6.2常微分方程组问题的数学模型178

6.2.1再论传染病预测问题178

6.2.2多种群竞争问题179

6.2.3弱肉强食问题180

6.3偏微分方程问题的数学模型182

6.3.1河流水质中污染物的迁移扩散问题182

6.3.2热传导问题184

6.4常微分方程的数值计算方法185

6.4.1一阶非线性常微分方程初值问题186

6.4.2一阶非线性常微分方程初值问题的数值计算方法186

6.4.3一阶常微分方程组和高阶常微分方程的数值计算方法192

6.4.4偏微分方程数值计算方法193

6.5利用MATLAB求解微分方程194

6.5.1微分方程（组）的数值解194

6.5.2利用偏微分方程工具箱求解偏微分方程199

思考与练习六199

第七章 线性规划201

7.1从示例看线性规划问题201

7.2线性规划模型206

7.2.1建立线性规划模型的基本步骤206

7.2.2线性规划模型的形式206

7.3线性规划模型的求解理论209

7.3.1基本概念209

7.3.2线性规划的求解方法209

7.4利用优化软件求解线性规划模型214

7.4.1线性规划问题的MATLAB求解方法214

7.4.2利用LINGO软件求解线性规划220

7.5应用案例：人力资源分配问题224

思考与练习七226

第八章 整数线性规划229

8.1从示例看整数线性规划问题229

8.2整数线性规划模型及其求解方法235

8.3利用优化软件求解整数线性规划237

8.3.1利用MATLAB求解整数线性规划237

8.3.2利用LINGO求解整数线性规划238

8.4应用案例：应急选址问题241

思考与练习八242

第九章 非线性规划244

9.1非线性规划问题举例244

9.2非线性规划模型的一般形式248

9.3求解非线性规划的一般方法——迭代法250

9.4一维搜索方法251

9.4.1黄金分割法（0.618法）251

9.4.2牛顿法252

9.5无约束最优化方法253

9.5.1无约束最优化问题的最优性条件253

9.5.2最速下降法254

9.6约束最优化方法255

9.6.1约束最优化问题的最优性条件255

9.6.2可行方向法257

9.6.3惩罚函数法258

9.7利用优化软件求解非线性规划260

9.7.1利用MATLAB求解非线性规划261

9.7.2利用LINGO求解非线性规划266

9.8应用案例：钢管的订购和运输模型267

思考与练习九276

第十章 多目标规划279

10.1多目标规划问题279

10.1.1从示例看多目标建模问题279

10.1.2一般多目标规划问题的提法281

10.2多目标规划问题的有效解282

10.2.1帕雷托有效解282

10.2.2妥协解282

10.2.3满意解283

10.3求帕雷托有效解的几种常用方法283

10.3.1目标函数的规范化283

10.3.2线性加权法284

10.3.3ε约束法284

10.3.4理想点法285

10.4分层序列法和满意水平法286

10.4.1分层评价法286

10.4.2 满意水平法286

10.5应用案例287

10.5.1投资的收益和风险287

10.5.2出版社资源配置的多目标优化模型292

思考与练习十296

第十一章 图与网络最优化298

11.1通过实例看图论建模问题298

11.2图与网络的基本概念300

11.2.1无向图、有向图与网络300

11.2.2子图304

11.2.3图的连通性305

11.2.4几类重要的图和网络306

11.3最短路问题与算法307

11.3.1最短路问题307

11.3.2求单源最短路问题的Dijkstra算法308

11.3.3最短路问题的推广312

11.3.4求所有点对之间最短路的Floyd算法314

11.4最短路问题的MATLAB求解319

思考与练习十一322

第十二章 数据的描述性统计方法324

12.1概率论初步325

12.1.1一维随机变量及其分布326

12.1.2多元随机变量及其分布329

12.2统计的基本概念330

12.2.1总体和样本330

12.2.2频数表和直方图330

12.2.3统计量333

12.2.4统计量的MATLAB实现335

12.3几个重要的概率分布336

12.3.1几个重要的概率分布及其数字特征336

12.3.2常用统计量的抽样分布339

12.3.3 MATLAB统计工具箱中概率分布的实现341

12.4参数估计343

12.4.1点估计343

12.4.2区间估计344

12.4.3参数估计的MATLAB实现344

12.5假设检验345

12.5.1参数的假设检验方法345

12.5.2参数假设检验的MATLAB实现347

12.5.3分布拟合检验349

12.6应用案例：专家打分的可信度评价问题349

思考与练习十二354

第十三章 方差分析方法355

13.1单因素方差分析方法356

13.1.1数学模型356

13.1.2数据统计与分析357

13.1.3方差分析表359

13.1.4 MATLAB实现359

13.2双因素方差分析362

13.2.1数学模型362

13.2.2无交互影响的双因素方差分析363

13.2.3 MATLAB实现364

13.2.4其他365

13.3应用案例：艾滋病疗法的评价及疗效的预测365

思考与练习十三372

第十四章 回归分析373

14.1一元线性回归374

14.1.1线性回归模型374

14.1.2回归参数的估计375

14.1.3回归方程的显著性检验376

14.2多元线性回归378

14.2.1数学模型378

14.2.2 参数估计378

14.2.3统计分析379

14.2.4回归模型的假设检验380

14.2.5利用回归模型进行预测381

14.2.6线性回归模型的MATLAB实现381

14.3多项式回归385

14.3.1一元多项式回归385

14.3.2多元二次多项式回归388

14.4非线性回归及其MATLAB实现392

14.5逐步回归及其MATLAB实现394

思考与练习十四399

第十五章 多因素综合评价方法401

15.1概述402

15.2数据预处理及其规范化404

15.2.1数据预处理方法404

15.2.2数据规范化方法405

15.3多因素综合评价方法407

15.3.1线性加权综合评价方法407

15.3.2加权积法（非线性加权综合法）408

15.3.3理想解方法（TOPSIS方法）408

15.3.4熵权法410

15.3.5应用示例411

15.4层次分析方法415

15.4.1层次分析方法的基本思想和计算步骤416

15.4.2应用示例：校长奖学金评选问题422

思考与练习十五425

参考文献427