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第1章 伪球曲面，经典B？cklund变换和Bianchi方程组1

1.1 双曲曲面的Gauss-Weingarten方程组，伪球曲面和sine-Gordon方程1

1.2 Sine-Gordon方程的经典B？cklund变换5

1.3 Bianchi的可换性定理和多孤立子解的生成10

1.3.1 Bianchi的可换性定理10

1.3.2 物理应用12

1.4 伪球孤立子曲面和呼吸子13

1.4.1 伪球面14

1.4.2 伪球螺旋面16

1.4.3 双孤立子曲面17

1.4.4 呼吸子18

1.4.5 静态呼吸子曲面19

1.5 平行曲面和一类Weingarten曲面上的诱导B？cklund变换21

1.5.1 常平均曲率曲面和Bonnet定理22

1.5.2 一个导出的B？cklund变换23

1.6 Bianchi方程组及其自B？cklund变换24

1.6.1 双曲曲面及其球表示25

1.6.2 双曲曲面的一个B？cklund变换27

1.6.3 Bianchi方程组30

第2章 曲线和曲面的运动及其同孤立子的联系36

2.1 常挠率和常曲率曲线的运动以及同sine-Gordon方程的联系36

2.1.1 常挠率不可伸长曲线的运动37

2.1.2 常曲率不可伸长曲线的运动38

2.2 sine-Gordon方程的一个2×2线性表示39

2.3 伪球曲面的运动，Weingarten方程组及其B？cklund变换42

2.3.1 非简谐格点模型的连续极限45

2.3.2 Weingarten方程组45

2.3.3 B？cklund变换46

2.4 mKdV方程，运动曲线与孤立子曲面表示以及孤立子Weingarten方程组52

2.4.1 mKdV方程52

2.4.2 Dini曲面的运动53

2.4.3 三元正交Weingarten系统56

第3章 Tzitzeica曲面，共轭网与Toda格59

3.1 Tzitzeica曲面及其同可积气体动力学方程组的联系59

3.1.1 Tzitzeica方程和仿射球方程59

3.1.2 气体动力学中的仿射球方程64

3.2 Tzitzeica曲面的构造及其B？cklund变换69

3.3 Laplace-Darboux变换，二维Toda格和共轭网76

3.3.1 Laplace-Darboux变换76

3.3.2 Laplace-Darboux变换的重复作用和二维Toda格77

3.3.3 二维Toda格，它的线性表示和B？cklund变换79

3.3.4 共轭网82

第4章 Hasimoto曲面与非线性Schr？dinger方程，它们的几何及相关的孤立子方程84

4.1 从法向运动与非线性Schr？dinger方程以及Heisenberg自旋方程85

4.1.1 单孤立子NLS曲面86

4.1.2 几何性质89

4.1.3 Heisenberg自旋方程91

4.2 Pohlmeyer-Lund-Regge模型，同SIT方程组和SRS方程组的联系，以及同NLS方程的相容性92

4.2.1 Pohlmeyer-Lund-Regge模型93

4.2.2 与SIT方程组的联系94

4.2.3 与SRS方程组的联系96

4.2.4 Maxwell-Bloch方程组与NLS方程的相容性97

4.3 NLS方程的几何与自B？cklund变换99

4.3.1 非线性Schr？dinger方程103

4.3.2 自B？cklund变换106

第5章 等温曲面，Calapso方程和Zoomeron方程111

5.1 等温曲面的Gauss-Mainardi-Codazzi方程组，Calapso方程以及对偶等温曲面111

5.2 Rn＋2中等温曲面的几何114

5.2.1 共轭坐标和正交坐标115

5.2.2 等温曲面116

5.2.3 特殊情形以及推广117

5.3 向量Calapso方程组及其标量Lax对119

5.3.1 向量Calapso方程组119

5.3.2 标量Lax对120

5.3.3 约化122

5.4 基本变换123

5.4.1 平行网与梳状变换123

5.4.2 径向变换124

5.4.3 基本变换124

5.5 等温曲面的B？cklund变换126

5.5.1 共轭坐标系的基本变换126

5.5.2 Ribaucour变换128

5.5.3 等温曲面的B？cklund变换130

5.6 可换性定理及其几何意义132

5.6.1 共轭网的可换性定理与平面性132

5.6.2 正交共轭网的可换性定理与共圆性134

5.6.3 等温曲面的可换性定理与常交比性136

5.7 向量Calapso方程组显式的可换性定理139

5.7.1 Ribaucour变换与Moutard变换的关系139

5.7.2 可换性定理140

5.8 特殊的等温曲面，单孤立子曲面与四次圆纹曲面142

5.8.1 单孤立子等温曲面142

5.8.2 由Moutard变换生成的一族解144

5.8.3 Dupin四次圆纹曲面148

第6章 孤立子曲面的一般性质以及规范变换和反向变换的作用153

6.1 AKNS 2×2谱问题154

6.1.1 伪球曲面的位置向量154

6.1.2 su(2)线性表示及其相关的孤立子曲面：r=-q时的AKNS系统157

6.2 NLS特征函数梯队，几何性质和Miura变换163

6.2.1 作为特征函数方程解的孤立子曲面的位置向量163

6.2.2 Serret-Frenet方程和NLS梯队166

6.3 反向变换和圈孤立子167

6.3.1 反向变换和圈孤立子方程167

6.3.2 圈孤立子170

6.4 Dym梯队，mKdV梯队，KdV梯队及其联系172

6.4.1 反向变换下的不变性以及一类平面曲线运动173

6.4.2 Dym梯队，mKdV梯队和KdV梯队175

6.4.3 可换性定理177

6.4.4 mKdV梯队的几何导出179

6.5 常曲率曲线的从法向运动和推广的Dym曲面181

6.5.1 常曲率曲线182

6.5.2 推广的Dym曲面和su(2)线性表示185

6.5.3 CC理想表示188

6.5.4 推广的Dym方程和m2KdV方程的矩阵Darboux变换和B？cklund变换191

6.5.5 孤立子曲面193

6.6 常挠率曲线的从法向运动与推广的sine-Gordon方程组196

6.6.1 推广的sine-Gordon方程组196

6.6.2 基本形式和su(2)线性表示197

6.6.3 B？cklund变换198

6.6.4 Bianchi变换的类似和对偶曲面199

第7章 B？cklund变换与Darboux矩阵的联系202

7.1 伪球曲面和非线性Schr？dinger曲面的联系202

7.1.1 伪球曲面202

7.1.2 NLS曲面206

7.2 AKNS系统的Darboux矩阵，诱导B？cklund变换以及常距离性质210

7.2.1 基本矩阵Darboux变换211

7.2.2 su(2)约束下的不变性213

7.2.3 满足r=-q的AKNS梯队及其基本B？cklund变换214

7.2.4 常距离性质217

7.3 Darboux变换的重复作用及一般的可换性定理219

7.3.1 矩阵Darboux变换的重复作用219

7.3.2 一般的可换性定理222

第8章 Bianchi方程组和Ernst方程组，它们的B？cklund变换和可换性定理227

8.1 Bianchi曲面和Sym-Tafel公式的应用227

8.2 非等谱线性表示的矩阵Darboux变换229

8.3 su(2)约束的不变性和距离性质231

8.4 广义相对论中的Ernst方程232

8.4.1 线性表示233

8.4.2 对偶“Ernst方程”234

8.5 Ehlers变换和Matzner-Misner变换237

8.6 Neugebauer变换和Harrison B？cklund变换238

8.7 Ernst方程的矩阵Darboux变换245

8.8 Ernst方程及其对偶方程的可换性定理以及同Bianchi方程的联系248

第9章 射影极小曲面和等温渐近曲面252

9.1 射影微分几何中Gauss-Mainardi-Codazzi方程组的类比252

9.2 射影极小曲面，Godeaux-Rozet曲面和Demoulin曲面254

9.3 线性表示257

9.3.1 Wilczynski四面体和4×4线性表示257

9.3.2 Plücker对应和6×6线性表示258

9.4 作为周期Toda格的Demoulin方程组261

9.5 射影极小曲面的B？cklund变换263

9.5.1 so(3,3)线性表示的不变性264

9.5.2 sl(4)线性表示的不变性269

9.6 单孤立子Demoulin曲面270

9.7 等温渐近曲面和静态mNVN方程274

9.7.1 静态mNVN方程275

9.7.2 静态NVN方程276

9.8 等温渐近曲面的B？cklund变换280

9.8.1 mNVN方程的不变性280

9.8.2 NVN方程的不变性和等温渐近曲面的B？cklund变换282

附录A su(2)与so(3)的同构285

附录B CC－理想288

附录C 传记293

参考文献296

补充参考文献318

致谢322

《现代数学译丛》已出版书目323