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第一章 概论1

1.1 分数阶微积分的历史1

1.2 分数阶导数方程的几何和物理解释3

1.2.1 任意频率依赖的能量耗散过程4

1.2.2 分形描述和幂律现象5

1.2.3 反常扩散6

1.2.4 复杂材料本构关系6

1.2.5 分数阶薛定谔方程7

1.3 科学和工程应用7

参考文献9

第二章 分数阶微积分数学基础11

2.1 分数阶微积分的定义11

2.1.1 Riemann-Liouville定义12

2.1.2 Caputo定义12

2.1.3 Grünwald-Letnikov定义13

2.1.4 空间分数阶拉普拉斯算子的Riesz定义14

2.2 分数阶微积分的性质16

2.2.1 Riemann-Liouville算子的一些简单性质16

2.2.2 常见函数的分数阶微积分17

2.2.3 不同定义的关系18

2.3 分数阶微积分的傅里叶与拉普拉斯变换20

2.3.1 分数阶微积分的傅里叶变换20

2.3.2 分数阶微积分的拉普拉斯变换21

2.4 求解分数阶微分方程的解析方法24

2.4.1 积分变换方法24

2.4.2 格林函数法25

2.4.3 Adomian分解法27

2.4.4 同伦函数法28

2.4.5 其他迭代方法34

2.5 问题及讨论37

2.5.1 分形导数、正定分数阶导数、变导数和随机导数37

2.5.2 空间分数阶导数的讨论48

2.5.3 分数阶微积分的几何和物理解释的讨论51

参考文献52

第三章 分形几何与分数阶微积分57

3.1 分形简介及其应用57

3.1.1 简单的分形几何58

3.1.2 分形的基本性质62

3.1.3 分形维数的测量64

3.1.4 分形的应用68

3.2 分形与分数阶微积分的联系71

3.2.1 一类分形函数的分数阶微积分71

3.2.2 分形函数的维数与其分数阶微积分阶数的关系72

3.2.3 分数阶微积分在描述分形介质本构关系中的应用75

3.2.4 分形介质中的分数阶动力学方程76

参考文献80

第四章 分数阶反常扩散模型、非常规统计分布和随机过程81

4.1 分数阶导数反常扩散方程82

4.1.1 反常扩散问题的统计描述82

4.1.2 分数阶反常扩散方程83

4.1.3 分数阶Fick定律84

4.1.4 分数阶对流与扩散方程85

4.2 湍流粒子加速度分布的统计模型88

4.2.1 现有的模型89

4.2.2 幂律-扩展高斯联合分布模型91

4.2.3 比较与讨论93

4.3 Lévy稳态分布94

4.3.1 一般形式下的Lévy分布94

4.3.2 在x>0情形下的Lévy分布95

4.3.3 稳态分布96

4.4 扩展高斯分布97

4.5 Tsallis分布98

4.5.1 Tsallis熵98

4.5.2 Tsallis分布98

4.6 伊藤公式99

4.6.1 伊藤积分的概念99

4.6.2 伊藤公式100

4.7 随机行走模型101

4.8 问题与讨论107

4.8.1 统计分布的应用背景107

4.8.2 统计分布、扩散过程与微分方程的关系107

4.8.3 Lévy稳态分布和频率依赖声波耗散的指数（0,2］分布109

参考文献110

第五章 分数阶微分方程的典型应用113

5.1 幂律现象与非梯度本构关系113

5.1.1 幂律分布现象与分数维113

5.1.2 幂律分布现象的形成机理114

5.1.3 幂律现象与非梯度本构关系116

5.2 分数阶Langevin方程118

5.2.1 Langevin方程118

5.2.2 分数阶Langevin方程120

5.3 复杂阻尼振动122

5.3.1 振子模型122

5.3.2 分数阶振子124

5.4 黏弹性与流变材料本构模型127

5.4.1 元件模型128

5.4.2 松弛模量和蠕变柔量131

5.4.3 复松弛模量和复蠕变柔量131

5.4.4 分数阶黏弹性模型中的复松弛模量和复蠕变柔量132

5.4.5 黏弹性体的分数阶力学模型133

5.4.6 土流变试验数据拟合与分析140

5.4.7 Stokes第二类问题分数阶导数模型的精确解140

5.5 声波的任意阶频率依赖耗散142

5.5.1 波在弹性固体中传播142

5.5.2 波在黏弹性介质中耗散传播的经典模型143

5.5.3 波在黏弹性介质中耗散传播的分数阶模型145

5.5.4 流体中的声波146

5.5.5 声波的吸收与频率依赖耗散147

5.5.6 任意阶频率依赖耗散声波传播的分数阶拉普拉斯方程模型153

5.5.7 非线性声波的分数阶导数耗散模型156

5.5.8 分数阶导数地震波模型157

5.6 力学中的分数阶变分原理157

5.6.1 力学变分原理157

5.6.2 分数阶变分原理160

5.7 分数阶薛定谔方程163

5.7.1 波粒二象性163

5.7.2 薛定谔方程163

5.7.3 波函数的物理意义164

5.7.4 时间分数阶薛定谔方程165

5.7.5 路径积分原理和薛定谔方程165

5.7.6 空间分数阶薛定谔方程167

5.7.7 分数阶薛定谔方程的分形时空起源168

5.8 其他应用领域170

5.8.1 分数阶微积分在断裂力学中的应用170

5.8.2 分数阶微积分在系统控制中的应用170

5.8.3 分数阶导数模型的反问题171

5.9 变导数、分布式导数与随机导数的建模与应用177

5.9.1 变导数的建模与应用177

5.9.2 分布式导数的建模与应用180

5.9.3 随机导数的建模与应用181

参考文献182

第六章 分数阶微分方程的数值解法189

6.1 时间分数阶微分方程189

6.1.1 有限差分与积分方程法189

6.1.2 时间分数阶导数方程数值算法的总结与分析210

6.2 空间分数阶微分方程的数值解法215

6.2.1 主要的数值解法简介216

6.2.2 三种求解空间分数阶反常扩散方程的方法比较219

6.3 存在的问题224

6.4 分形导数方程数值解法226

6.5 正定分数阶导数方程数值解法228

参考文献231

第七章 分数阶微积分的发展情况与展望235

7.1 总结与讨论235

7.1.1 研究与应用现状235

7.1.2 关键问题236

7.2 展望237

附录Ⅰ 特殊函数239

Ⅰ.1 伽马函数239

Ⅰ.2 贝塔函数242

Ⅰ.3 Dirac-Delta函数243

Ⅰ.4 Mittag-Leffler函数245

Ⅰ.5 Wright函数252

Ⅰ.6 H-Fox函数253

参考文献256

附录Ⅱ 分数阶动力学相关的电子资源258

参考文献260