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第一篇 微积分1

第一章 函数 极限 连续1

考点与要求1

1 函数1

内容精讲1

一、函数的概念及表示方法1

二、函数的性态2

三、几个与函数相关的概念2

四、重要公式与结论3

例题分析4

一、求函数的定义域及表达式4

二、函数的特性6

2 极限8

内容精讲8

一、极限的定义8

二、数列极限的基本性质9

三、函数极限的基本性质9

四、无穷小量与无穷大量10

五、极限的四则运算法则11

六、两个重要极限11

七、极限存在的两个准则11

八、洛必达（L Hospital）法则11

九、重要公式与结论12

例题分析13

一、极限的概念与性质13

二、求函数的极限14

三、求数列的极限21

四、求含参变量的极限22

五、无穷小量阶的比较22

六、函数极限的反问题23

3 函数的连续与间断25

内容精讲25

一、连续的定义25

二、函数的间断点及其分类25

三、连续函数性质26

四、重要定理与结论26

例题分析26

一、函数的连续性及间断点的分类26

二、连续函数性质的应用28

第二章 一元函数微分学30

考点与要求30

1 导数与微分30

内容精讲30

一、导数的概念30

二、导数的计算31

三、微分33

四、重要公式与结论33

例题分析34

一、有关导数的定义及性质34

二、含有绝对值函数的导数37

三、导数的几何意义38

四、变限积分的导数39

五、利用导数公式及法则求导40

六、可导条件下求待定的参数43

七、求函数的高阶导数43

2 导数的应用45

内容精讲45

一、函数的单调性与极值45

二、曲线的凹凸性与拐点46

三、曲线的渐近线46

四、函数图形的描绘47

五、重要公式与结论47

例题分析47

一、求函数的单调区间与极值47

二、判断曲线的凹凸性与拐点49

三、求曲线的渐近线50

四、导数的经济应用50

3 中值定理及不等式的证明52

内容精讲52

一、微分中值定理52

二、补充公式与结论53

三、与本章例题有关的其它内容53

例题分析53

一、证明存在ξ使f（ξ）＝053

二、讨论方程根的个数及范围55

三、证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n＝1，2，…）56

四、证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ））＝057

五、含有f″（ξ）（或更高阶导数）的介值问题59

六、双介值问题F（ξ，η，…）＝059

七、不等式的证明60

第三章 一元函数积分学66

考点与要求66

1 不定积分66

内容精讲66

一、不定积分的概念与性质66

二、基本积分公式67

三、三个积分方法67

四、重要公式与结论68

例题分析70

一、不定积分的概念和性质70

二、不定积分的计算71

2 定积分80

内容精讲80

一、定积分的概念与性质80

二、定积分的几个定理81

三、定积分的计算方法82

四、重要公式与结论82

例题分析83

一、定积分的概念及性质83

二、定积分的计算86

三、有关变限积分的问题91

四、定积分的证明题92

3 反常积分94

内容精讲94

一、无穷区间的反常积分94

二、无界函数的反常积分94

三、几个重要的反常积分95

例题分析96

4 定积分的应用98

内容精讲98

一、定积分应用的基本原理—微元法（元素法）98

二、定积分的几何应用98

例题分析99

一、定积分的几何应用99

二、定积分的经济应用101

第四章 多元函数微积分学103

考点与要求103

1 多元函数微分学103

内容精讲103

一、多元函数的极限与连续103

二、偏导数与全微分104

三、复合函数求导法则105

四、隐函数的求导公式106

五、多元函数的极值106

六、重要公式与结论107

例题分析107

一、二元函数的极限与连续107

二、偏导数与全微分的概念109

三、求复合函数的偏导数与全微分112

四、求隐函数的偏导数与全微分117

五、变量替换下表达式的变形119

六、多元函数微分学的反问题122

七、多元函数的极值与最值123

2 二重积分129

内容精讲129

一、二重积分的概念与性质129

二、二重积分的计算130

三、重要公式与结论130

例题分析131

一、二重积分的概念及性质131

二、二重积分的基本计算132

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分135

四、分块函数的二重积分138

五、交换积分次序及坐标系139

六、反常二重积分的计算141

七、与二重积分相关的证明142

第五章 无穷级数144

考点与要求144

1 常数项级数144

内容精讲144

一、基本概念和基本性质144

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法145

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法145

四、重要公式与结论146

例题分析146

一、正项级数敛散性的判定147

二、交错级数的敛散性的判定150

三、任意项级数敛散性的判定152

四、数项级数敛散性的证明155

五、利用收敛级数求极限157

2 幂级数158

内容精讲158

例题分析159

一、求幂级数的收敛半径及收敛域159

二、求幂级数的和函数162

三、求数项级数的和165

四、函数展开为幂级数167

五、经济中的应用168

第六章 常微分方程与差分方程170

考点与要求170

1 常微分方程170

内容精讲170

一、几个基本概念170

二、常见的一阶微分方程及其解法171

三、二阶线性微分方程171

例题分析173

一、一阶微分方程的求解173

二、二阶线性微分方程176

三、可化为微分方程求解的问题178

四、微分方程的应用181

2 差分方程183

内容精讲183

一、差分的概念183

二、一阶常系数线性差分方程184

例题分析184

第二篇 线性代数186

第一章 行列式186

考点与要求186

内容精讲186

例题分析189

一、数字型行列式的计算189

二、抽象型行列式的计算195

三、行列式｜A｜是否为零的判定197

四、关于代数余子式求和197

第二章 矩阵200

考点与要求200

内容精讲200

1 矩阵的概念及运算200

一、矩阵的概念200

二、矩阵的运算201

三、矩阵的运算规则201

四、特殊矩阵202

2 可逆矩阵203

一、可逆矩阵的概念203

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件203

三、逆矩阵的运算性质203

四、求逆矩阵的方法203

3 初等变换、初等矩阵204

一、定义204

二、初等矩阵与初等变换的性质204

4 矩阵的秩205

一、矩阵秩的概念205

二、矩阵秩的公式205

5 分块矩阵206

一、分块矩阵的概念206

二、分块矩阵的运算206

例题分析207

一、矩阵的概念及运算207

二、特殊方阵的幂211

三、伴随矩阵的相关问题213

四、可逆矩阵的相关问题215

五、初等变换、初等矩阵219

六、矩阵秩的计算220

第三章 向量225

考点与要求225

内容精讲225

1 n维向量的概念与运算225

2 线性表出、线性相关226

3 极大线性无关组、秩227

4 Schmidt正交化、正交矩阵227

例题分析228

一、线性相关的判别228

二、向量的线性表示229

三、线性相关与线性无关的证明231

四、秩与极大线性无关组234

五、正交化、正交矩阵236

第四章 线性方程组238

考点与要求238

内容精讲238

1 克拉默法则238

2 齐次线性方程组238

3 非齐次线性方程组240

例题分析241

一、线性方程组的基本概念题241

二、线性方程组的求解244

三、基础解系250

四、AX＝0的系数行向量和解向量的关系，由AX＝0的基础解系反求A252

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系253

六、两个方程组的公共解255

七、同解方程组256

八、线性方程组的有关杂题258

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵261

考点与要求261

内容精讲261

1 特征值、特征向量261

一、定义261

二、特征值的性质261

三、求特征值、特征向量的方法261

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化262

一、定义262

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件262

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件263

3 实对称矩阵的相似对角化263

一、定义263

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化263

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤263

例题分析264

一、特征值，特征向量的求法264

二、两个矩阵有相同的特征值的证明268

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法269

四、矩阵是否相似于对角阵270

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数273

六、由特征值、特征向量反求A273

七、矩阵相似及相似标准形274

八、相似对角阵的应用279

第六章 二次型283

考点与要求283

内容精讲283

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵283

一、二次型概念283

二、二次型的矩阵表示283

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型284

一、定义284

3 正定二次型、正定矩阵285

一、定义285

例题分析286

一、二次型的矩阵表示286

二、化二次型为标准形、规范形287

三、合同矩阵、合同二次型293

四、正定性的判别295

五、正定二次型的证明300

六、综合杂题301

第三篇 概率论与数理统计303

第一章 随机事件与概率303

考点与要求303

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算303

内容精讲303

例题分析305

2 概率、条件概率、独立性和五大公式307

内容精讲307

例题分析309

3 古典概型与伯努利概型313

内容精讲313

例题分析314

第二章 随机变量及其概率分布317

考点与要求317

1 随机变量及其分布函数317

内容精讲317

例题分析318

2 离散型随机变量和连续型随机变量319

内容精讲319

例题分析320

3 常用分布321

内容精讲321

例题分析324

4 随机变量函数的分布327

内容精讲327

例题分析328

第三章 多维随机变量及其分布330

考点与要求330

1 二维随机变量及其分布330

内容精讲330

例题分析332

2 随机变量的独立性337

内容精讲337

例题分析338

3 二维均匀分布和二维正态分布346

内容精讲346

例题分析347

4 两个随机变量函数Z＝g（X，Y）的分布349

内容精讲349

例题分析350

第四章 随机变量的数字特征355

考点与要求355

1 随机变量的数学期望和方差355

内容精讲355

例题分析357

2 矩、协方差和相关系数364

内容精讲364

例题分析365

3 切比雪夫不等式373

内容精讲373

例题分析373

第五章 大数定律和中心极限定理374

考点与要求374

内容精讲374

例题分析375

第六章 数理统计的基本概念377

考点与要求377

1 总体、样本、统计量和样本数字特征377

内容精讲377

例题分析378

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布380

内容精讲380

例题分析382

第七章 参数估计387

考点与要求387

1 点估计387

内容精讲387

例题分析387

2 估计量求法392

内容精讲392

例题分析393