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预备知识1

数域1

第1章 行列式3

1.1n阶行列式的定义3

1.1.1二阶行列式与三阶行列式3

1.1.2排列6

1.1.3n阶行列式的定义8

1.2行列式的性质及应用12

1.2.1行列式的性质12

1.2.2用性质计算行列式的例题16

1.3行列式的展开定理19

1.3.1行列式的展开公式19

1.3.2利用展开公式计算行列式的例题22

1.4克莱姆法则及其应用28

1.4.1克莱姆法则28

1.4.2克莱姆法则的应用30

习题132

第2章 矩阵39

2.1解线性方程组的高斯消元法39

2.1.1线性方程组39

2.1.2高斯消元法42

2.1.3齐次线性方程组45

2.2矩阵及其运算46

2.2.1矩阵的概念46

2.2.2矩阵的代数运算49

2.2.3矩阵的转置54

2.3逆矩阵56

2.3.1方阵乘积的行列式56

2.3.2逆矩阵的概念与性质57

2.3.3矩阵可逆的条件60

2.4分块矩阵63

2.5矩阵的初等变换67

2.5.1矩阵的初等变换和初等矩阵68

2.5.2矩阵的相抵和相抵标准形69

2.5.3用初等变换求逆矩阵71

2.5.4分块矩阵的初等变换73

习题276

第3章 几何空间中的向量82

3.1向量及其运算82

3.1.1向量的基本概念82

3.1.2向量的线性运算83

3.1.3共线向量、共面向量85

3.2仿射坐标系与直角坐标系88

3.2.1仿射坐标系88

3.2.2用坐标进行向量运算90

3.2.3向量共线、共面的条件93

3.2.4空间直角坐标系93

3.3向量的数量积、向量积与混合积95

3.3.1数量积及其应用95

3.3.2向量积及其应用99

3.3.3混合积及其应用102

3.4平面与直线104

3.4.1平面方程104

3.4.2两个平面的位置关系106

3.4.3直线方程107

3.4.4两条直线的位置关系108

3.4.5直线与平面的位置关系110

3.5距离111

3.5.1点到平面的距离111

3.5.2点到直线的距离112

3.5.3异面直线的距离112

习题3113

第4章 向量空间Fn117

4.1数域F上的n维向量空间117

4.1.1 n维向量及其运算117

4.1.2向量空间Fn的定义和性质118

4.2向量组的线性相关性120

4.2.1线性相关的概念120

4.2.2线性相关、线性无关的进一步讨论122

4.3向量组的秩125

4.3.1向量组的线性表出125

4.3.2极大线性无关组127

4.3.3向量组的秩的概念及性质128

4.4矩阵的秩129

4.4.1矩阵秩的引入及计算130

4.4.2秩的性质133

4.5齐次线性方程组135

4.5.1齐次线性方程组有非零解的充要条件135

4.5.2基础解系135

4.6非齐次线性方程组141

4.6.1非齐次线性方程组有解的条件141

4.6.2非齐次线性方程组解的结构141

习题4145

第5章 线性空间149

5.1数域F上的线性空间149

5.1.1线性空间的定义149

5.1.2线性相关与线性无关151

5.1.3基、维数和坐标152

5.1.4过渡矩阵与坐标变换154

5.2线性子空间157

5.2.1线性子空间的概念157

5.2.2子空间的交与和160

5.2.3子空间的直和163

5.3线性空间的同构165

5.4欧几里得空间168

5.4.1内积168

5.4.2标准正交基171

5.4.3施密特正交化173

5.4.4正交矩阵175

5.4.5可逆矩阵的QR分解176

5.4.6正交补与直和分解178

习题5180

第6章 线性变换184

6.1线性变换的定义和运算184

6.1.1线性变换的定义和基本性质184

6.1.2线性变换的运算187

6.2线性变换的矩阵189

6.2.1线性变换在一组基下的矩阵189

6.2.2线性变换与矩阵的一一对应关系191

6.2.3线性变换的乘积与矩阵乘积之间的对应194

6.3线性变换的核与值域194

6.3.1核与值域194

6.3.2不变子空间199

6.4特征值与特征向量201

6.4.1特征值与特征向量的定义与性质202

6.4.2特征值与特征向量的计算204

6.4.3特征多项式的基本性质208

6.5相似矩阵211

6.5.1线性变换在不同基下的矩阵211

6.5.2矩阵的相似212

6.5.3相似矩阵的性质213

6.5.4矩阵的相似对角化216

6.5.5实对称矩阵和对角化222

习题6226

第7章 二次型与二次曲面233

7.1二次型233

7.1.1二次型的定义233

7.1.2矩阵的相合235

7.2二次型的标准形236

7.2.1主轴化方法237

7.2.2配方法238

7.2.3矩阵的初等变换法242

7.3惯性定理和二次型的规范形246

7.4实二次型的正定性248

7.5曲面与方程253

7.5.1球面方程254

7.5.2母线与坐标轴平行的柱面方程255

7.5.3绕坐标轴旋转的旋转面方程256

7.5.4空间曲线的方程257

7.6二次曲面的分类258

7.6.1椭球面259

7.6.2单叶双曲面259

7.6.3双叶双曲面260

7.6.4锥面261

7.6.5椭圆抛物面261

7.6.6双曲抛物面261

7.6.7一般二次方程的化简262

习题7264

附录A集合与关系268

附录B集合的分类与等价关系270

附录C映射与代数系统273

习题提示与答案277

索引293