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第一部分 微积分3

第一章 函数 极限 连续3

大纲解读3

考试内容3

考试要求3

大纲知识点精解3

1 函数3

考点梳理3

一、基本概念3

二、重要性质、公式与结论6

例题解析7

题型一 求函数的定义域与函数表达式7

题型二 函数的性质8

2 极限10

考点梳理10

一、基本概念10

二、重要性质、公式与结论11

例题解析14

题型一 求函数极限14

题型二 求数列极限20

题型三 无穷小的比较23

题型四 已知极限或无穷小求待定参数25

题型五 求解含参变量的极限27

3 函数的连续与间断27

考点梳理27

一、基本概念27

二、重要性质、公式与结论28

例题解析29

题型一 初等函数和抽象函数的连续与间断29

题型二 分段函数的连续性30

题型三 由极限定义的函数的连续性31

题型四 连续函数的零点问题32

题型五 综合题33

习题精选与预测34

第二章 一元函数微分学37

大纲解读37

考试内容37

考试要求37

大纲知识点精解37

1 导数与微分37

考点梳理37

一、基本概念37

二、重要性质、公式与结论39

例题解析39

题型一 利用导数与微分的定义解题39

题型二 可微、可导、连续与极限的关系41

题型三 导数的几何应用42

2 导数的计算43

考点梳理43

重要性质、公式与结论43

例题解析45

题型一 利用导数公式与运算法则求导45

题型二 求分段函数导数或微分45

题型三 幂指函数的导数或微分46

题型四 隐函数求导47

题型五 求n阶导数47

3 利用导数研究函数的性态49

考点梳理49

一、基本概念49

二、重要定理、性质与公式50

例题解析51

题型一 利用导数讨论函数单调性、极值与最值51

题型二 函数的凹凸性与拐点53

题型三 求曲线的切线、法线和渐近线54

题型四 综合题55

4 微分中值定理、零点问题与不等式证明57

考点梳理57

重要性质、公式与结论57

例题解析59

题型一 函数零点的存在性与个数问题59

题型二 证明项中包含ξ，f（ξ），f′（ξ），…的问题62

题型三 证明项中包含ξ，η，f（ξ），f（η），f′（ξ），f′（η）的问题65

题型四 不等式证明66

习题精选与预测68

第三章 一元函数积分学73

大纲解读73

考试内容73

考试要求73

大纲知识点精解73

1 不定积分与定积分的概念与性质73

考点梳理73

一、基本概念73

二、重要性质、公式与结论74

例题解析75

2 不定积分与定积分的计算78

考点梳理78

重要性质、公式与结论78

例题解析80

题型一 有理函数的积分80

题型二 无理函数的积分80

题型三 三角函数的积分81

题型四 乘积的混合式积分83

题型五 分段函数与绝对值函数的积分85

题型六 变限积分问题86

3 反常积分89

考点梳理89

一、基本概念89

二、重要性质、公式与结论90

例题解析91

4 定积分的几何应用93

考点梳理93

重要性质、公式与结论93

例题解析94

5 定积分的证明题98

例题解析98

题型一 等式的证明98

题型二 不等式的证明99

6 一元函数微积分在经济中的应用101

考点梳理101

例题解析101

习题精选与预测105

第四章 多元函数微积分学118

大纲解读118

考试内容118

考试要求118

大纲知识点精解118

1 多元函数的极限与连续性118

考点梳理118

一、基本概念118

二、重要性质、公式与结论119

例题解析119

题型一 二元函数的概念119

题型二 二元函数的极限120

2 偏导数与全微分121

考点梳理121

一、基本概念121

二、重要性质、公式与结论122

例题解析122

题型一 简单的二元函数偏导数与微分计算122

题型二 二元函数连续、可偏导、可微的关系124

3 多元函数求导法则127

考点梳理127

重要性质、定理与公式127

例题解析128

题型一 求复合函数的偏导数与全微分128

题型二 求隐函数的偏导数与全微分131

4 多元函数的极值与最值136

考点梳理136

一、基本概念136

二、重要性质、定理与公式136

例题解析138

题型一 求解多元函数的无条件极值138

题型二 求解多元函数的条件极值140

题型三 求解多元函数的最值142

5 二重积分144

考点梳理144

一、基本概念144

二、重要性质、公式与结论145

例题解析148

题型一 二重积分的概念和性质148

题型二 直角坐标和极坐标下二重积分的计算149

题型三 二次积分交换积分次序154

题型四 利用对称性计算二重积分156

习题精选与预测159

第五章 无穷级数165

大纲解读165

考试内容165

考试要求165

大纲知识点精解165

1 常数项级数及其敛散性165

考点梳理165

一、基本概念165

二、重要性质、公式与结论166

例题解析169

题型一 级数的概念与敛散性169

题型二 正向级数的敛散性判定169

题型三 交错级数的敛散性判定171

题型四 任意项级数的敛散性判定173

2 幂级数173

考点梳理173

一、基本概念173

二、重要性质、公式与结论174

例题解析176

题型一 幂级数的收敛区间与收敛域176

题型二 幂级数与常数项级数求和178

题型三 函数的幂级数展开式182

习题精选与预测185

第六章 常微分方程与差分方程188

大纲解读188

考试内容188

考试要求188

大纲知识点精解188

1 一阶微分方程188

考点梳理188

一、基本概念188

二、重要定理、性质与公式189

例题解析190

题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解190

题型二 一阶线性方程191

2 二阶线性常微分方程193

考点梳理193

一、基本概念193

二、重要定理、性质与公式193

例题解析195

题型一 二阶线性微分方程解的结构、性质与判定195

题型二 求解二阶线性微分方程196

3 微分方程的应用197

考点梳理197

重要定理、性质与公式197

例题解析197

4 差分方程202

考点梳理202

一、基本概念202

二、重要的性质、公式与结论203

例题解析203

习题精选与预测204

第二部分 线性代数209

第一章 行列式209

大纲解读209

考试内容209

考试要求209

大纲知识点精解209

考点梳理209

一、基本概念209

二、重要性质、公式与结论210

例题解析212

题型一 行列式的概念及性质212

题型二 数字型行列式的计算214

题型三 抽象行列式的计算218

题型四 有关｜A｜＝0的证明219

习题精选与预测220

第二章 矩阵223

大纲解读223

考试内容223

考试要求223

大纲知识点精解223

1 矩阵的概念及运算223

考点梳理223

一、基本概念223

二、重要性质、公式与结论225

2 可逆矩阵与伴随矩阵226

考点梳理226

一、基本概念226

二、重要性质、公式与结论227

3 矩阵的初等变换228

考点梳理228

一、基本概念228

二、重要性质、公式与结论228

4 分块矩阵229

考点梳理229

一、基本概念229

二、重要性质、公式与结论229

例题解析230

题型一 矩阵的概念及运算230

题型二 求方阵的幂231

题型三 矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算233

题型四 伴随矩阵235

题型五 矩阵的初等变换237

题型六 分块矩阵238

题型七 求解矩阵方程241

习题精选与预测244

第三章 向量248

大纲解读248

考试内容248

考试要求248

大纲知识点精解248

1 向量与向量组的线性相关性248

考点梳理248

一、基本概念248

二、重要定理、性质与公式249

例题解析250

题型一 线性相关性的判别与证明250

题型二 向量与向量组的线性表出253

2 极大线性无关组与向量组的秩256

考点梳理256

一、基本概念256

二、重要定理、性质与公式257

例题解析257

题型一 矩阵的秩257

题型二 向量组的秩与极大线性无关组259

题型三 向量组的等价261

3 内积与施密特正交化263

考点梳理263

一、基本概念263

二、重要定理、性质与公式264

例题解析264

习题精选与预测265

第四章 线性方程组270

大纲解读270

考试内容270

考试要求270

大纲知识点精解270

1 齐次线性方程组270

考点梳理270

一、基本概念270

二、重要性质、公式与结论271

2 非齐次线性方程组273

考点梳理273

一、基本概念273

二、重要性质、公式与结论273

例题解析274

题型一 线性方程组解的判定、性质与结构274

题型二 求解齐次线性方程组278

题型三 求解非齐次线性方程组281

题型四 两方程组的公共解与同解问题290

习题精选与预测294

第五章 矩阵的特征值和特征向量298

大纲解读298

考试内容298

考试要求298

大纲知识点精解298

1 特征值与特征向量298

考点梳理298

一、基本概念298

二、重要性质、公式与结论299

例题解析300

题型一 求数字型矩阵的特征值与特征向量300

题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量303

题型三 特征值与特征向量的逆问题305

题型四 有关特征值与特征向量的证明题307

2 相似矩阵及矩阵的相似对角化309

考点梳理309

一、基本概念309

二、重要性质、公式与结论309

例题解析310

题型一 相似矩阵的性质及其判定310

题型二 方阵的对角化问题313

3 实对称矩阵及其相似对角化317

考点梳理317

一、基本概念317

二、重要性质、公式与结论317

例题解析318

题型一 实对称矩阵的性质318

题型二 实对称矩阵的对角化323

习题精选与预测326

第六章 二次型330

大纲解读330

考试内容330

考试要求330

大纲知识点精解330

1 二次型的定义、矩阵表示330

考点梳理330

基本概念330

2 化二次型为标准形和规范形331

考点梳理331

一、基本概念331

二、重要性质、公式与结论332

3 合同矩阵333

考点梳理333

一、基本概念333

二、重要性质、公式与结论333

4 正定二次型与正定矩阵333

考点梳理333

一、基本概念333

二、重要性质、公式与结论333

例题解析334

题型一 二次型的基本概念334

题型二 线性变换336

题型三 化二次型为标准形和规范形337

题型四 矩阵的合同342

题型五 正定二次型与正定矩阵的判定与证明344

习题精选与预测348

第三部分 概率论与数理统计353

第一章 随机事件和概率353

大纲解读353

考试内容353

考试要求353

大纲知识点精解353

1 随机事件的关系与运算353

考点梳理353

一、基本概念353

二、重要定理、性质与公式354

例题解析355

2 随机事件的概率357

考点梳理357

一、基本概念357

二、重要定理、性质与公式357

例题解析358

题型一 概率的基本性质358

题型二 古典概型与几何概型360

题型三 条件概率361

题型四 全概率公式与贝叶斯公式362

3 事件的独立性与独立重复试验364

考点梳理364

一、基本概念364

二、重要定理、性质与公式365

例题解析365

题型一 事件的独立性365

题型二 伯努利概型367

习题精选与预测368

第二章 随机变量及其分布371

大纲解读371

考试内容371

考试要求371

大纲知识点精解371

1 随机变量及其分布函数371

考点梳理371

一、基本概念371

二、重要定理、性质与公式372

例题解析372

2 离散型与连续型随机变量375

考点梳理375

一、基本概念375

二、重要定理、性质与公式375

例题解析378

题型一 离散型随机变量及其分布律378

题型二 连续型随机变量及其概率密度379

题型三 随机变量的常见分布381

3 随机变量函数的分布383

考点梳理383

例题解析384

习题精选与预测388

第三章 多维随机变量及其分布391

大纲解读391

考试内容391

考试要求391

大纲知识点精解391

1 二维随机变量及其分布391

考点梳理391

一、基本概念391

二、重要性质、公式与结论393

例题解析394

题型一 离散型随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布394

题型二 连续型随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布397

2 二维随机变量的独立性400

考点梳理400

一、基本概念400

二、重要性质、公式与结论401

例题解析401

3 二维均匀分布与二维正态分布404

考点梳理404

一、基本概念404

二、重要性质、公式与结论404

例题解析405

4 随机变量函数的分布408

考点梳理408

一、基本概念408

二、重要性质、公式与结论408

例题解析410

习题精选与预测420

第四章 随机变量的数字特征423

大纲解读423

考试内容423

考试要求423

大纲知识点精解423

1 随机变量的数学期望和方差423

考点梳理423

一、基本概念423

二、重要性质、公式与结论424

例题解析425

题型一 随机变量期望与方差的概念与计算425

题型二 随机变量函数的期望与方差429

题型三 几种常见分布的期望与方差433

2 协方差与相关系数435

考点梳理435

一、基本概念435

二、重要性质、公式与结论436

例题解析437

题型一 协方差与相关系数的计算437

题型二 相关性与独立性的判定440

3 随机变量的矩443

考点梳理443

基本概念443

例题解析443

习题精选与预测444

第五章 大数定律与中心极限定理447

大纲解读447

考试内容447

考试要求447

1 大数定律447

考点梳理447

2 中心极限定理448

考点梳理448

例题解析449

题型一 切比雪夫不等式与大数定律449

题型二 中心极限定理451

习题精选与预测454

第六章 数理统计的基本概念456

大纲解读456

考试内容456

考试要求456

大纲知识点精解456

1 随机样本456

考点梳理456

一、基本概念456

二、重要性质、公式与结论457

2 统计量及其分布457

考点梳理457

一、基本概念457

二、重要性质、公式与结论457

例题解析461

题型一 统计量及其数字特征461

题型二 统计量的分布466

习题精选与预测469

第七章 参数估计472

大纲解读472

考试内容472

考试要求472

大纲知识点精解472

考点梳理472

一、基本概念472

二、重要定理、性质与公式473

例题解析473

习题精选与预测476

附录478

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题478

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题解析481

后记494