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第1章 数值计算中的误差1

1.1误差来源1

1.2误差、误差限及有效数字3

1.3误差在计算过程中的传播5

1.3.1误差在函数值计算过程中的传播5

1.3.2误差在四则运算中的传播6

1.4计算方法的数值稳定性7

1.5秦九韶算法9

1.5.1秦九韶算法基本思想9

1.5.2秦九韶算法及其实现9

习题110

第2章 解线性方程组的直接方法12

2.1线性代数基本知识12

2.1.1向量、矩阵的范数及其性质13

2.1.2扰动理论基础16

2.2线性方程组的直接解法17

2.2.1 Gauss消去法17

2.2.2列选主元素Gauss消去法22

2.2.3完全选主元素Gauss消去法23

2.2.4 Gauss-Jordan消去法26

2.2.5矩阵的三角分解28

2.3特殊矩阵的直接解法33

2.3.1平方根方法33

2.3.2追赶法35

2.4线性方程组直接解法的误差分析37

习题238

第3章 解线性方程组的迭代法41

3.1迭代法的理论基础41

3.2简单迭代法43

3.2.1 Jacobi迭代43

3.2.2 Gauss-Seidel迭代45

3.2.3逐次超松弛迭代法（SOR方法）46

3.3解线性方程组的共轭梯度法47

习题350

第4章 代数插值53

4.1引言53

4.2多项式插值54

4.2.1插值多项式的存在唯一性54

4.2.2 Lagrange插值55

4.2.3 Newton插值58

4.3差分与等距节点插值公式61

4.4 Hermite插值63

4.5分段低次插值66

4.5.1分段线性插值67

4.5.2分段三次Hermite插值67

4.6三次样条插值68

4.7多项式插值算法实现及其应用实例75

习题477

第5章 函数逼近与曲线拟合80

5.1引言与预备知识80

5.2最佳一致逼近81

5.2.1一致逼近多项式81

5.2.2最佳一致逼近多项式82

5.2.3 Remez算法与Chebyshev插值85

5.3最佳平方逼近88

5.3.1连续函数所构成的内积空间89

5.3.2函数的最佳平方逼近91

5.4正交多项式93

5.4.1线性无关函数族的Schimidt正交化94

5.4.2勒让德（Legendre）多项式95

5.4.3 Chebyshev多项式96

5.4.4其他常用的正交多项式99

5.5函数按正交多项式展开100

5.5.1用正交多项式构造连续函数的最佳平方逼近多项式的一般方法100

5.5.2用Legendre多项式构造连续函数的最佳平方逼近多项式101

5.5.3用三角多项式构造周期函数的最佳平方逼近多项式104

5.6离散数据集的最佳平方逼近105

5.6.1曲线拟合的最小二乘方法106

5.6.2用正交函数作最小二乘拟合110

5.7离散Fourier变换（DFT）与快速Fourier变换算法（FFT）111

5.7.1离散Fourier变换（DFT）111

5.7.2快速Fourier变换（FFT）113

习题5116

第6章 数值积分与数值微分118

6.1数值求积的基本思想118

6.2机械求积公式与代数精度119

6.2.l机械求积公式119

6.2.2插值型的求积公式120

6.3 Newton-Cotes公式120

6.3.1 Cotes系数120

6.3.2几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项122

6.4复化求积公式及其收敛性123

6.4.1复化梯形求积公式124

6.4.2复化Simpson求积公式124

6.4.3复化Newton-Cotes求积公式124

6.5 Romberg算法126

6.5.1梯形法的递推化126

6.5.2 Richardson外推算法127

6.5.3 Romberg求积公式128

6.6 Gauss求积公式130

6.6.1 Gauss点130

6.6.2 Gauss-Legendre求积公式131

6.6.3带权的Gauss求积公式133

6.7数值微分134

6.7.1插值型的求导公式135

6.7.2样条求导137

习题6137

第7章 常微分方程数值解139

7.1引言139

7.2 Euler方法140

7.2.1 Euler格式140

7.2.2后退的Euler格式141

7.2.3 Euler两步格式145

7.3 Runge-Kutta方法146

7.3.1二阶Runge-Kutta方法147

7.3.2四阶Runge-Kutta方法149

7.3.3变步长的Runge-Kutta方法150

7.4单步法的收敛性与稳定性151

7.4.1单步法的收敛性151

7.4.2单步法的稳定性152

7.5线性多步法153

7.5.1基于数值积分的常微分方程数值方法153

7.5.2基于Taylor展开的构造方法154

7.6方程组与高阶方程的情形156

7.6.1一阶方程组156

7.6.2化高阶方程组为一阶方程组157

7.7边值问题的数值解法158

7.7.1差分方程的可解性159

7.7.2差分方法的收敛性160

习题7160

第8章 非线性方程求解162

8.1根的搜索162

8.1.1逐步搜索法162

8.1.2二分法163

8.2迭代法164

8.2.1迭代过程的收敛性164

8.2.2迭代公式的加速167

8.3牛顿迭代法168

8.3.1牛顿迭代公式168

8.3.2 Newton迭代法的局部收敛性169

8.3.3 Newton迭代法应用举例170

8.3.4 Newton下山法171

8.4弦截法与抛物线法171

8.4.1弦截法172

8.4.2抛物线法172

8.5代数方程求根173

8.5.1求多项式单根的Newton迭代法173

8.5.2多项式根模的界与实根隔离176

8.5.3多项式复根的计算178

习题8183

第9章 矩阵特征值问题185

9.1特征值的概念以及一般理论185

9.1.1矩阵特征值、特征向量及特征多项式185

9.1.2简单矩阵的特征值与特征向量185

9.2矩阵的正交分解与相似变换187

9.2.1 Givens变换187

9.2.2 Householder变换188

9.2.3 矩阵的QR分解189

9.2.4矩阵的相似变换191

9.3求矩阵特征值的迭代方法194

9.3.1求矩阵最大特征值的幂法194

9.3.2反幂法197

9.3.3降阶法199

9.3.4正交迭代200

9.3.5求非对称矩阵全部特征值的QR方法202

习题9205

参考文献208