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第一章 概率统计1

1.1 事件与概率1

1.2 随机向量及其分布3

1.3 数学期望及其计算6

A．数学期望6

B．条件概率和条件数学期望8

C．数学期望的计算公式9

D．概率不等式11

1.4 总体，样本与次序统计量11

A．总体与样本11

B．次序统计量12

1.5 特征函数和概率极限定理13

A．特征函数13

B．概率极限定理14

1.6 参数估计16

A．最大似然估计16

B．抽样分布的上α分位数16

1.7 置信区间和假设检验17

1.8 随机变量举例18

A．两点分布18

B．二项分布19

C．几何分布20

D．泊松分布20

E．指数分布20

F．正态分布22

习题一23

第二章 泊松过程25

2.1 计数过程和泊松过程25

A．随机过程和随机序列25

B．计数过程26

C．泊松过程27

练习2.132

2.2 泊松呼叫流32

A．呼叫流的概率分布33

B．等待间隔Xn的分布36

C．到达时刻的条件分布37

D．简单呼叫流41

练习2.242

2.3 年龄和剩余寿命43

练习2.346

2.4 泊松过程的汇合与分流46

A．泊松过程的汇合47

B．泊松过程的分流49

C．复合泊松过程53

练习2.455

2.5 泊松过程的参数估计55

A．用N（t）估计λ55

B．用Sn估计λ58

C．复合泊松过程的参数估计59

练习2.559

2.6 非时齐泊松过程60

A．非时齐泊松过程60

B．强度函数的估计62

习题二66

第三章 更新过程72

3.1 更新过程72

A．极限定理73

B．更新函数75

C．更新流78

练习3.179

3.2 更新定理80

A．停时80

B．基本更新定理83

C．布莱克威尔定理84

D．关键更新定理86

练习3.288

3.3 更新方程和分支过程89

A．卷积及其性质89

B．更新方程92

C．分支过程93

练习3.396

3.4 开关系统97

A．开关系统97

B．多个状态的系统103

练习3.4104

3.5 年龄和剩余寿命105

A．年龄A（t）的分布106

B．剩余寿命R（t）的分布107

C．t时服役部件的寿命分布108

D．SN（t）的分布函数109

练习3.5112

3.6 年龄，剩余寿命和更新间隔的比较112

A．A（t）,R（t）和更新间隔的比较113

B．XN（t）+1随机大于更新间隔114

C．EA（t）,ER（t）和EXN（t）+1的极限115

练习3.6118

3.7 延迟更新过程119

A．平衡更新过程119

B．延迟更新过程120

C．延迟开关系统125

3.8 有偿更新过程126

习题三131

第四章 离散时间马尔可夫链136

4.1 马氏链及其转移概率136

练习4.1141

4.2 柯尔莫哥洛夫-切普曼方程141

A．K-C方程141

B．初始分布和Xn的分布143

练习4.2145

4.3 状态的命名和周期145

A．常返与非常返状态146

B．正常返和零常返状态149

C．周期及其性质151

D．遍历状态153

练习4.3155

4.4 状态空间分类156

A．状态空间的分解156

B．简单随机游动的常返性158

C．质点在常返等价类中的转移161

练习4.4166

4.5 不变分布167

练习4.5173

4.6 平稳可逆分布174

A．平稳性174

B．平稳可逆性177

C．平稳可逆分布的计算179

练习4.6183

4.7 离散时间分支过程184

A．灭绝概率186

B．参数估计190

练习4.7191

4.8 强大数律和中心极限定理191

A．强马氏性191

B．强大数律和中心极限定理192

练习4.8195

4.9 马氏链的统计推断195

A．一步转移概率的估计195

B．P=P0的假设检验196

C．独立性检验197

习题四198

第五章 连续时间马尔可夫链204

5.1 连续时间马氏链的定义204

练习5.1206

5.2 泊松过程是马氏链206

练习5.2209

5.3 转移速率矩阵209

练习5.3213

5.4 连续时间马氏链的结构213

A．保守马氏链213

B．马氏链的结构217

练习5.4220

5.5 柯尔莫哥洛夫方程220

A．向后和向前方程221

B．解柯尔莫哥洛夫方程222

练习5.5225

5.6 生灭过程226

A．线性生灭过程227

B．线性纯生过程231

C．生灭过程233

D．简单的传染病模型234

练习5.6236

5.7 连续时间分支过程236

练习5.7239

5.8 马氏链的极限分布240

A．pij（t）的极限240

B．马氏链的h骨架和状态分类241

C．平稳不变分布244

练习5.8250

5.9 时间可逆的马氏链251

A．时间可逆的马氏链251

B．可逆分布的计算253

习题五257

第六章 布朗运动261

6.1 布朗运动261

A．布朗运动261

B．二维布朗运动264

6.2 布朗运动的简单性质264

6.3 首中时和Arcsin律265

A．首中时和最大值的分布266

B．Arcsin律268

6.4 布朗桥与经验过程270

6.5 布朗运动的轨迹273

A．轨迹的不可微273

B．轨迹的无限长274

C．重对数律276

6.6 随机游动与布朗运动276

习题六279

第七章 应用举例281

7.1 互联网的PageRank问题281

A．半马氏过程282

B．用转移速率矩阵作PageRank286

7.2 简单排队问题286

A．M/G/1忙期287

B．M/M/m排队289

7.3 系统维修问题293

部分习题参考答案和提示299

附录A 部分定理的证明313

附录B 常见分布的期望、方差、母函数和特征函数320

附录C1 标准正态分布表321

附录C2 标准正态分布的上α分位数322

附录C3 x2（n）分布的上α分位数323

符号说明325

参考书目326

名词索引327