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第1章 典型方程与定解条件1

1.1基础理论知识1

1.1.1偏微分方程的一些基本概念1

1.1.2解析函数与调和函数3

1.1.3几个简单的求解偏微分方程的例子7

1.2一些典型方程的导出与定解条件9

1.2.1弦振动方程与定解条件9

1.2.2热传导方程与定解条件13

1.2.3定解问题16

1.2.4定解问题的适定性20

1.3变分原理20

1.3.1捷线问题20

1.3.2极小曲面问题24

1.3.3膜的平衡问题27

1.4二阶线性偏微分方程的分类29

1.4.1两个自变量的二阶线性偏微分方程30

1.4.2多个自变量的二阶线性偏微分方程47

1.5叠加原理48

习题150

第2章 分离变量法52

2.1基础理论知识52

2.1.1二阶线性常微分方程的解的结构52

2.1.2二阶线性常系数常微分方程的解法55

2.1.3常数变易法56

2.1.4欧拉方程的解法58

2.1.5傅里叶级数59

2.2分离变量法61

2.2.1有界弦的自由振动问题61

2.2.2有限长杆的热传导问题66

2.2.3二维拉普拉斯方程的边值问题69

2.2.4非齐次方程的求解问题74

2.2.5具有非齐次边界条件的问题84

2.2.6高维方程混合问题及边值问题的分离变量法90

2.2.7斯图姆—刘维尔（Strum-Liouville）问题107

习题2111

第3章 行波法115

3.1基础理论知识115

3.2一维齐次波动方程的初值问题118

3.2.1无界弦的自由振动118

3.2.2半无界弦的自由振动125

3.3一维非齐次波动方程的初值问题126

3.3.1无界弦的强迫振动问题126

3.3.2齐次初始条件的强迫振动问题128

3.4三维波动方程的初值问题133

3.4.1三维齐次波动方程的初值问题133

3.4.2三维非齐次波动方程的初值问题142

3.5二维波动方程的初值问题——降维法146

3.5.1二维齐次波动方程的初值问题146

3.5.2二维非齐次波动方程的初值问题151

3.6泊松公式的物理意义153

3.6.1三维波动方程初值问题泊松公式的物理意义153

3.6.2二维波动方程初值问题泊松公式的物理意义154

习题3155

第4章 积分变换法157

4.1基础理论知识157

4.1.1傅里叶变换157

4.1.2傅里叶正弦变换与余弦变换168

4.1.3拉普拉斯变换170

4.2积分变换的应用182

4.2.1傅里叶变换的应用182

4.2.2拉普拉斯变换的应用195

习题4205

第5章 格林函数法208

5.1基础理论知识208

5.1.1格林公式208

5.1.2高斯公式与散度209

5.1.3第一格林公式与第二格林公式209

5.2格林函数法211

5.2.1拉普拉斯方程边值问题的提法211

5.2.2格林公式的应用212

5.2.3格林函数217

5.2.4格林函数的应用218

习题5224

第6章 特殊函数226

6.1基础理论知识226

6.1.1正项级数及其审敛法226

6.1.2微分方程的幂级数解法228

6.1.3 Γ函数和B函数230

6.2特殊函数235

6.2.1贝塞尔函数235

6.2.2贝塞尔函数的应用242

6.2.3勒让德多项式248

6.2.4勒让德多项式的应用255

6.2.5埃尔米特多项式263

习题6269

第7章 能量积分法与变分法271

7.1基础理论知识271

7.1.1一维波动方程的能量积分271

7.1.2变分法的物理背景272

7.2能量积分法与变分法274

7.2.1一维波动方程初值问题的能量不等式274

7.2.2一维波动方程初值问题解的唯一性与稳定性278

7.2.3一维波动方程初边值问题的能量不等式279

7.2.4变分问题的可解性281

7.2.5吕兹-伽辽金方法283

习题7286

附录288

附录Ⅰ 傅里叶积分变换表288

附录Ⅱ 拉普拉斯积分变换表289

附录Ⅲ 数学物理方程发展历史简介293

附录Ⅳ 数学物理方程自测试题304

习题参考答案与提示314

参考文献327