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第1篇 高等数学题型1

第1章 极限和连续1

1.1 重要定理1

1.2 重要公式3

1.3 函数的极限4

题型1 无穷小的比较或确定无穷小的阶4

题型2 求未定式函数极限5

题型3 求分段函数在分界点的极限12

题型4 极限式中常数的确定13

1.4 数列的极限15

题型5 求各种类型（∞/∞型、1∞型、∞-∞型）的数列极限15

题型6 给出数列｛xn｝通项表达式，求极限lim n→∞ xn17

题型7 数列n项和Sn=n ∑ i=1 ai，当n→∞时的极限18

题型8 n个因子乘积，当n→∞时的极限20

1.5 函数的连续性22

题型9 函数连续性的讨论22

题型10 确定函数的间断点及其类型23

1.6 杂例25

题型11 从含有f（x）及lim x→x0 f（x）的方程中求解f(x)25

题型12 当x→0时，求含有e1/x,arctan1/x,arccot1/x,｜x｜的极限27

题型13 含f(x+a)-f（x）的非0/0型极限式且f（x）可导28

第2章 导数与微分29

2.1 导数和微分的概念29

2.2 导数公式和运算法则30

2.3 重要定理31

2.4 与导数定义和性质有关的命题31

题型14 求含有抽象函数的0/0型极限31

题型15 与抽象函数的导数相关的命题34

题型16 判断函数的可导性36

2.5 各种函数的导数或微分37

题型17 求一元复合函数的导数或微分37

题型18 求参数方程所确定的函数的导数37

题型19 求一元隐函数的导数或微分38

题型20 求幂指函数的导数或微分39

题型21 求函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分40

题型22 求分段函数的导数或微分41

题型23 求简单函数的高阶导数44

第3章 不定积分48

3.1 不定积分48

3.2 三种基本积分方法49

3.3 不定积分中的概念57

题型24 与原函数相关的命题57

3.4 各种函数的不定积分58

题型25 求简单有理函数的不定积分58

题型26 简单无理函数的不定积分60

题型27 三角有理式的积分61

题型28 分段函数的不定积分64

题型29 含对数函数、反三角函数的不定积分66

题型30 复合函数的不定积分67

题型31 计算隐函数的不定积分68

第4章 定积分70

4.1 定积分的基本性质70

4.2 重要定理70

4.3 重要公式71

4.4 计算定积分的方法72

4.5 反常积分73

4.6 与定积分的定义和性质相关的命题75

题型32 定积分的估值75

题型33 变限积分的求导问题76

4.7 各种类型定积分的计算77

题型34 求分段函数的定积分77

题型35 求含有绝对值符号的定积分78

题型36 求被积函数中含有变上限积分的定积分79

题型37 求对称区间［-l,l］上的定积分80

题型38 求周期函数的定积分82

题型39 求被积函数的分母为两项，分子恰为其中一项的定积分83

题型40 求由三角有理式与初等函数通过四则运算、复合运算或变量代换所得式的定积分83

题型41 定积分等式的证明84

题型42 定积分不等式的证明88

4.8 反常积分92

题型43 反常积分的计算及收敛92

第5章 微分中值定理94

5.1 闭区间上连续函数的性质94

5.2 微分中值定理94

5.3 闭区间上连续函数的命题95

题型44 闭区间上连续函数命题的证明95

5.4 中值定理的应用99

题型45 证明给出的函数f（x）满足某中值定理99

题型46 证明某个函数恒等于一个常数的命题100

题型47 命题f(n)(ξ)=0的证明101

题型48 欲证结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=k（k≠0）或由a,b,f(a),f(b),ξ,f(ξ),f′(ξ),…,f(n)（ξ）所构成的代数式成立102

题型49 欲证结论：在（a,b）内至少存在ξ,η（ξ≠η）满足某个代数式105

第6章 一元微积分的应用107

6.1 重要定理和结论107

6.2 导数的应用107

题型50 一元函数单调增减性的判别107

题型51 一元函数极值的判定或求解110

题型52 求一元函数的最值及简单应用111

题型53 曲线的拐点或凹凸区间的判定或求解112

题型54 函数曲线的渐近线方程的计算与导数的判定113

题型55 与曲线曲率相关的命题115

6.3 方程的根116

题型56 方程根的存在性问题116

题型57 方程根的个数的研究117

题型58 方程根的唯一性问题118

6.4 定积分的应用120

题型59 利用微元法解题120

题型60 求平面图形的面积122

题型61 求旋转体的侧面积124

题型62 求已知截面面积的立体体积或旋转体体积126

题型63 求平面曲线的弧长128

题型64 一元积分在物理上的应用129

第7章 常微分方程132

7.1 二阶线性微分方程解的性质132

7.2 二阶线性微分方程解的结构定理132

7.3 一阶微分方程的求解133

题型65 一阶可分离变量方程的求解133

题型66 一阶齐次微分方程或可化为齐次微分方程的求解134

题型67 一阶线性微分方程的求解137

题型68 伯努利方程的求解139

题型69 全微分方程的求解140

7.4 二阶或二阶以上微分方程的求解143

题型70 可降阶的高阶微分方程的求解143

题型71 有关二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程解的结构的命题144

题型72 求二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程的通解145

题型73 求欧拉方程的通解151

题型74 微分方程在几何中的应用152

题型75 微分方程在物理中的应用153

第8章 向量代数与空间解析几何156

8.1 概念和性质156

8.2 两个向量之间的关系156

8.3 平面方程的几种形式157

8.4 空间直线方程的几种形式157

8.5 常见二次曲面的标准形式158

题型76 向量的运算158

题型77 求平面方程160

题型78 求空间直线方程161

题型79 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系162

题型80 求柱面方程165

题型81 求投影线方程167

题型82 求旋转曲面方程168

第9章 多元函数微分学170

9.1 连续、可微和可导的关系170

9.2 多元函数的极值170

9.3 多元函数微分171

题型83 有关二元函数定义域、极限、连续的计算题171

题型84 简单显函数z=f（x,y）偏导数的计算172

题型85 考查二元函数z=f（x,y）的连续、偏导及可微性173

题型86 多元复合函数偏导数的计算174

题型87 隐函数偏导数的计算179

题型88 多元函数全微分的计算183

9.4 多元函数在几何上的应用184

题型89 求空间曲线在某点处的切线和法平面方程184

题型90 求空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程185

9.5 多元函数的极值和最值187

题型91 求多元函数的极值187

题型92 求多元函数的最值189

第10章 重积分193

10.1 二重积分的性质和定理193

10.2 二重积分的计算194

10.3 二重积分196

题型93 更换二重积分的积分次序196

题型94 选择积分次序197

题型95 积分区域关于坐标轴对称的二重积分199

题型96 分段函数的二重积分201

题型97 被积函数f（x,y）中含有绝对值符号的二重积分203

题型98 被积函数f（x,y）中含有最值符号max或min的二重积分204

题型99 二重积分等式的证明205

题型100 二重积分不等式的证明206

10.4 三重积分208

题型101 三重积分的计算208

题型102 利用对称性化简三重积分213

题型103 利用轮换对称性化简三重积分214

10.5 重积分的应用215

题型104 求体积215

题型105 求曲面的面积216

题型106 求薄片或形体的质量、质心的坐标、转动惯量、引力217

第11章 无穷级数219

11.1 基本性质219

11.2 级数的判敛法219

11.3 幂级数221

11.4 七个常见的函数展开式（必须熟记）222

11.5 与级数概念和性质相关的命题223

题型107 判别数项级数∞ ∑ n=1 un的敛散性，并附有“若收敛时，求其和”的命题223

题型108 利用级数敛散性的定义及性质，判断级数的敛散性224

11.6 级数敛散性的判别225

题型109 正项级数敛散性的判别225

题型110 交错级数∞ ∑ n=1 (-1)n-1 un （un＞0）敛散性的判别228

题型111 任意项级数敛散性的判别230

题型112 有关数项级数敛散性的证明233

题型113 给出函数f（x）的某种条件，形如∞ ∑ n=1 f（n）的级数的敛散性的证明235

题型114 利用级数证明数列｛an｝极限的存在或求解某些特殊极限236

11.7 幂级数237

题型115 求函数项级数的收敛域237

题型116 求幂级数的收敛域或收敛半径240

题型117 求函数在指定点的幂级数展开式242

题型118 无穷级数求和245

11.8 傅里叶级数250

题型119 将函数展开成傅里叶级数250

第12章 曲线积分与曲面积分254

12.1 曲线积分254

12.2 曲面积分255

12.3 曲线积分题型257

题型120 对弧长曲线积分的计算257

题型121 平面坐标中对坐标的曲线积分的计算259

题型122 空间域中对坐标的曲线积分的计算264

12.4 曲面积分题型265

题型123 对面积的曲面积分的计算265

题型124 对坐标的曲面积分的计算268

题型125 应用题273

题型126 场论初步275

第13章 函数方程与不等式证明278

13.1 函数方程278

题型127 利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求函数方程278

题型128 利用极限求函数方程278

题型129 已知函数在一点的导数及函数方程，求函数方程279

题型130 已知函数方程中含有变上限积分，求函数方程279

题型131 已知函数连续，且函数式中含函数的定积分、极限或二重积分，求函数方程282

题型132 已知函数方程中含有偏导数条件或曲线积分与路径无关，求函数方程283

13.2 不等式证明284

题型133 存在一个点ξ∈(a,b)，使得不等式成立或不等式通过变形，一端可写成f(b)-f(a)/b-a或f(b)-f(a)/g(b)-g(a)的命题的证明284

题型134 在某一区间（a,b）不等式命题成立的证明285

题型135 文字不等式的证明286

题型136 函数f（x）二阶和二阶以上可导的不等式命题的证明287

题型137 杂例288

第2篇 线性代数题型291

第14章 行列式291

14.1 重要定理和性质291

14.2 重要结论291

题型138 与行列式的定义和性质相关的命题292

题型139 数值型行列式的计算293

题型140 行列式的余子式或代数余子式线性组合的计算298

题型141 计算抽象行列式300

第15章 矩阵303

15.1 矩阵的运算性质303

15.2 重要结论303

15.3 逆矩阵304

题型142 有关逆矩阵的计算问题304

题型143 矩阵可逆的证明307

15.4 矩阵的运算308

题型144 有关矩阵运算的命题308

题型145 求矩阵的行列式310

题型146 与伴随矩阵相关的命题312

15.5 初等矩阵313

题型147 有关初等变换和初等矩阵的命题313

第16章 向量316

16.1 重要结论316

16.2 向量题型317

题型148 讨论向量组的线性相关性317

题型149 求向量组的极大线性无关组和秩321

题型150 有关向量组或矩阵的秩的计算与证明322

题型151 有关向量的线性表示的问题323

16.3 向量空间题型328

题型152 求向量空间的基与维数328

题型153 求过渡矩阵与向量的坐标329

题型154 有关正交矩阵的命题330

第17章 线性方程组331

17.1 重要性质和定理331

17.2 有关线性方程组的题型332

题型155 有关线性方程组的基本概念题332

题型156 有关基础解系的命题334

题型157 线性方程组的求解335

题型158 矩阵方程的求解339

题型159 讨论两个线性方程组解之间的关系341

第18章 特征值与特征向量344

18.1 重要结论344

18.2 矩阵的特征值与特征向量345

题型160 求数值型矩阵的特征值与特征向量345

题型161 求抽象矩阵的特征值与特征向量347

题型162 特征值与特征向量的逆问题348

18.3 相似矩阵及其对角化350

题型163 相似矩阵的判定及其逆问题350

题型164 矩阵可对角化的判定及其逆问题351

题型165 有关实对称矩阵的命题352

第19章 二次型354

19.1 重要结论354

19.2 二次型题型354

题型166 二次型所对应的矩阵及其性质354

题型167 用正交变换法化二次型为标准型356

题型168 有关正定的判定360

题型169 与二次曲面相关的命题362

第3篇 概率论与数理统计题型365

第20章 事件的概率365

20.1 重要性质365

20.2 常用结论366

20.3 古典概型和几何概型367

题型170 古典概型的概率计算367

题型171 几何概型的概率计算368

20.4 概率的概念、性质及计算369

题型172 有关事件的独立性的命题369

题型173 利用逆事件概率公式P(A)=1-P（？）计算概率371

题型174 利用加法公式、乘法公式和条件概率公式计算概率371

题型175 利用事件的独立性和伯努利概型计算概率374

题型176 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率375

第21章 随机变量及其分布379

21.1 重要定理和结论379

21.2 一维随机变量及其分布379

题型177 与一维随机变量概念和性质相关的命题379

题型178 求离散型随机变量的分布律或分布函数381

题型179 求连续型随机变量的概率密度或分布函数383

题型180 由已知分布求概率或由已知概率求分布384

题型181 求一维随机变量函数的概率分布386

题型182 综合题390

第22章 多维随机变量及其分布392

22.1 重要结论392

22.2 二维随机变量及其分布392

题型183 与二维随机变量概念、性质有关的命题392

题型184 求二维随机变量的各种分布（分布律，边缘分布律，边缘分布密度）394

题型185 随机变量独立性的判别400

题型186 由已知分布求概率401

题型187 求二维随机变量函数的分布403

题型188 关于二维正态分布问题408

第23章 随机变量的数字特征411

23.1 重要性质和公式411

23.2 重要结论412

23.3 一维随机变量的数字特征412

题型189 求一维随机变量的数字特征412

题型190 求一维随机变量函数的数字特征或逆问题414

23.4 二维或多维随机变量的数字特征415

题型191 求二维随机变量及其函数的数字特征415

题型192 有关数字特征与独立性及相关性的关系的命题420

题型193 利用0-1分布求多维随机变量的数字特征422

第24章 大数定律和中心极限定理424

24.1 大数定律424

24.2 中心极限定理425

题型194 估算随机事件的概率425

题型195 与大数定律有关的命题429

题型196 试验次数n的确定429

第25章 数理统计432

25.1 常用统计量432

25.2 三个常见的抽样分布：χ2分布、t分布和F分布432

25.3 正态总体条件下样本均值和样本方差的分布434

25.4 数理统计中的重要结论435

25.5 参数估计的重要结论435

25.6 假设检验的重要结论435

25.7 统计量的基本概念437

题型197 求统计量的分布及概率437

题型198 求统计量的数字特征439

25.8 参数估计442

题型199 求参数的点估计（矩估计和最大似然估计）442

题型200 讨论参数估计的性质445

题型201 参数的区间估计448

25.9 假设检验452

题型202 正态总体的均值和方差的假设检验452

题型203 有关两类错误的命题454