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第一部分 复数1

第一章 代数观点下的复数1

1 复数的发现1

2—9 复数的定义2

10 复共轭9

11—12 绝对值10

13—14 幺模数12

15—17 复数的辐角15

18—19 根17

第二章 复数的几何19

20—22 Gauss(或复)平面19

23 复平面中的圆23

24—25 Moebius 变换群23

26—28 保圆映照26

29 等角变换28

30 无穷远点28

31—33 Riemann 球面30

34—37 交比32

38—40 关于圆的反射36

41—44 圆之位置及大小的确定40

45—50 圆束43

51 由两个反射产生之 Moebius 变换46

52—55 将一般的 Moebius 变换表示为关于圆的反演之积48

第三章 欧氏几何、球面几何和非欧几何52

56—57 圆丛52

58—59 圆丛的圆之方程54

60 关于一个丛中圆的反演的积55

61—62 欧氏几何、球面几何以及非欧几何的刚体运动56

63—65 距离不变式59

66—72 球面三角62

73—75 非欧三角70

76 球面几何76

77 椭圆几何77

78—79 球面的转动80

80—81 非欧几何83

82—83 非欧运动86

84—85 Poincaré 半平面89

86—88 弦和准弦距离91

第二部分 点集论和拓扑学的某些结果94

第一章 收敛数列和连续的复函数94

89—90 收敛性的定义94

91 紧致点集96

92 Cantor 对角线方法97

93—94 点集的分类98

95—98 复函数100

99 复函数的边界值103

第二章 曲线与区域104

100—101 连通点集104

102 曲线106

103 区域106

104—105 保邻域映照107

106—109 Jordan 曲线108

110—113 单连通与多连通区域111

第三章 围道积分116

114 有长曲线116

115—119 复围道积分117

120—122 围道积分之主要性质123

123 平均值定理125

第三部分 解析函数127

第一章 理论基础127

124 复函数的导数127

125—127 可积函数128

128 正则解析函数的定义133

129 Cauchy 定理134

130—131 Cauchy 积分公式136

132 解析函数的一些基本性质139

133—134 Ricmann 定理140

第二章 最大模原理142

135 函数在圆上的平均值142

136—139 最大模原理143

140—141 Schwarz 引理145

142—143 正则解析函数的零点147

144 保邻域性149

145—146 不为常数的解析函数的导数不可能恒等于零151

第三章 Poisson 积分与调和函数153

147 由实部确定一个解析函数153

148—149 圆上的 Cauchy 积分变换154

150—152 Poisson 积分157

153—156 Cauchy-Riemann 方程与调和函数160

157 Harnack 定理164

158 调和测度166

159 Riemann 的一个不等式169

第四章 半纯函数171

160—161 解析函数定义之扩充171

162—163 半纯函数的运算172

164 部分分式分解175

165—166 孤立本性奇点175

167—169 Liouville 定理及其在多项式中的应用178

170 代数基本定理181

171—173 多项式的进一步性质182

第四部分 通过极限过程定义的解析函数186

第一章 连续收敛186

174—175 连续收敛186

176—178 极限振幅188

179 函数序列的正规核192

180 连续收敛与均匀收敛之比较192

第二章 半纯函数的正规族194

181 半纯函数序列的极限振幅194

182—183 半纯函数的正规族196

184 紧致正规族197

185—186 局部一致有界的解析函数族198

187—190 正规半纯函数族的极限函数200

191 Vitali 定理204

192 一致收敛205

193—194 Osgood 定理206

195—197 Moebius 变换的正规族208

198 A.Hurwitz 定理210

199 局部有界之正规族的判别法212

200 单叶函数213

第三章 幂级数215

201—204 绝对收敛的级数215

205 幂级数218

206—207 收敛半径219

208—209 Taylor 级数222

210—212 幂级数的正规序列225

213—214 幂级数之运算229

215 Abel 变换232

第四章 部分分式分解和留数的计算236

216—218 Laurent 展开式236

219 具有有限个孤立奇点的解析函数239

220—222 Mittag-Leffler 定理241

223 具有指定简单极点的半纯函数244

224—225 留数及其应用246

226 函数之零点个数及 Rouché 定理248

227—228 解析函数的反函数249

229—230 Lagrange 级数251

231 Kepler 方程255

232—233 单值性定理257

第五部分 特殊函数261

第一章 指数函数与三角函数261

234 指数函数 e261

235—237 三角函数263

238—239 指数函数的周期性267

240 双曲函数269

241—242 三角函数的周期与基本区域271

243—244 函数 tgz 与 tghz273

245 π的数值计算276

第二章 对数函数和一般的幂函数278

246—250 自然对数278

251—253 对数函数的级数展开式与数值计算282

254—255 一般的幂函数285

256 有多值反函数的正则函数288

257 n!的界289

258 级数∞∑∞(n-1)1/(n1+x)的界290

259—261 πctgπz 的部分分式分解式291

262 sinπz 的乘积公式以及 Wallis 公式294

第三章 Bernoulli 数与 Camma 函数296

263 差分之逆运算296

264 Bernoulli 数298

265—268 E.Lucas 的符号算法300

269 Clausen 定理305

270 Euler 常数309

271—273 函数Γ(z)311

274—275 Bohr-Mollerup 定理314

276—277 Stirling 级数316

278 Gauss 乘积公式321

279—280 公式的汇集、应用323

索引326