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1　常微分方程初值问题1

目录1

1.1 单步法2

1.1.1 Euler法及其误差2

1.1.2　梯形法6

1.1.3 Taylor级数法9

1.1.4 Runge-Kutta法10

1.1.5　单步法的收敛性与稳定性15

1.2　线性多步法20

1.2.1 多步法的构造20

1.2.2 多步法的使用30

1.2.3 多步法的稳定性与收敛性34

1.3.1 一阶方程组38

1.3　一阶微分方程组和高阶微分方程38

1.3.2 刚性方程组39

1.3.3 高阶方程43

习题一44

2　常微分方程边值问题47

2.1　差分法48

2.1.1 差分方程的建立48

2.1.2　极值原理和差分解的唯一性56

2.1.3 差分解的稳定性与收敛性57

2.2　打靶法61

2.2.1 打靶法的基本思想61

2.2.2　线性边值问题的打靶法61

2.2.3　非线性边值问题的打靶法64

习题二67

3　椭圆型方程的差分法70

3.1　矩形网格70

3.1.1　五点差分格式70

3.1.2　第三类边界条件的处理75

3.1.3　九点差分格式76

3.2　三角形网格78

3.3　差分解的稳定性与收敛性81

3.3.1　极值原理与差分解的唯一性81

3.3.2　差分解的稳定性与收敛性82

习题三86

4.1　一维抛物型方程的差分格式89

4　抛物型方程的差分法89

4.1.1 常系数热传导方程的差分格式90

4.1.2　初边值条件的处理96

4.1.3 变系数方程的差分格式100

4.2　稳定性和收敛性102

4.2.1 基本概念102

4.2.2　稳定性与收敛性的关系105

4.2.3　判别稳定性的直接法107

4.2.4　判别稳定性的分离变量法110

4.3　高维方程的差分格式116

4.3.1　P-R格式117

4.3.2　Douglas格式118

4.4　显隐交替的差分格式120

4.4.1 差分格式的单侧逼近性质120

4.4.2　显隐交替的差分格式121

习题四123

5　双曲型方程的差分法125

5.1　一阶线性双曲型方程（组）的差分格式125

5.1.1 一阶线性双曲型方程初值问题125

5.1.2 一阶线性双曲型方程初边值问题132

5.1.3 一阶线性常系数双曲型方程组134

5.2　二阶线性双曲型方程的差分格式136

5.2.1　一维波动方程136

5.2.2　二维波动方程141

习题五144

6.1　变分原理147

6.1.1　泛函极值147

6　变分原理及其应用147

6.1.2 变分原理149

6.1.3 两点边值问题151

6.1.4　椭圆型方程边值问题156

6.1.5 变分方程160

6.2　变分问题的近似解法162

6.2.1 Ritz法162

6.2.2 Galerkin法166

习题六169

7　有限元法172

7.1　两点边值问题172

7.1.1 有限元方程的建立172

7.1.2　二次单元176

7.2.1 用Ritz法建立有限元方程178

7.2　椭圆型方程边值问题178

7.2.2 用Galerkin法建立有限元方程185

7.2.3 刚度矩阵的性质186

7.2.4　双线性矩形单元188

7.3　抛物型方程初边值问题191

7.4　插值与等参元194

7.4.1　一维插值194

7.4.2　二维插值195

7.4.3　四边形等参元200

7.4.4　三角形等参元205

7.4.5 变节点等参元209

习题七212

8.1.1 化微分方程为边界积分方程214

8.1　Laplace方程214

8　边界元法214

8.1.2 离散过程216

8.1.3 常用单元219

8.2　Poisson方程228

8.3　Helmholtz方程228

8.4　边界元法与有限元法的组合232

8.4.1　组合过程232

8.4.2　数值处理235

习题八235

习题参考答案 237

附录一　数值积分公式244

附录二　偏微分方程基础知识247

参考文献255