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第1章 算法及误差分析1

1.1 算法简介1

1.1.1 数值分析的研究对象1

1.1.2 算法的基本特点1

1.2 误差分析5

1.2.1 误差的来源5

1.2.2 误差的基本概念6

习题17

2.1.1 一元非线性方程求根8

2.1 引言8

第2章 非线性方程的数值解法8

2.1.2 求根的精确化方法10

2.2 二分法10

2.2.1 基本二分法10

2.2.2 二分法算法设计12

2.3 迭代法13

2.3.1 简单迭代法13

2.3.2 加速迭代公式17

2.3.3 牛顿(Newton)迭代法19

2.4.2 收敛性判别条件22

2.4 迭代法收敛性分析22

2.4.1 收敛性定义22

2.4.3 收敛阶(速度)及其判定26

2.5 Newton迭代法的应用29

2.5.1 求重根和复根29

2.5.2 Newton下降法30

习题231

3.1.1 线性方程组的分类33

3.1.2 线性方程组的矩阵形式33

3.1 引言33

第3章 线性方程组的直接解法33

3.1.3 线性方程组解的存在惟一性34

3.1.4 线性方程组的解法34

3.2 高斯(Gauss)消元法35

3.2.1 Gauss顺序消元法35

3.2.2 Gauss顺序消元法的条件40

3.3 选主元的Gauss消元法41

3.3.1 Gauss列主元消元法41

3.3.2 高斯-若当(Gauss-Jordan)消元法45

3.4 矩阵的三角分解47

3.4.1 初等变换矩阵48

3.4.2 矩阵的LU分解定理50

3.4.3 LU分解算法53

3.5 追赶法59

3.5.1 三对角阵的克劳特(Crout)分解59

3.5.2 追赶法(利用Crout分解解线性方程组)60

3.5.3 追赶法求解公式的推导62

习题364

4.1 向量范数与矩阵范数66

4.1.1 向量范数66

第4章 线性方程组的迭代解法66

4.1.2 向量序列的收敛性67

4.1.3 矩阵范数68

4.1.4 矩阵的特征值上界69

4.1.5 矩阵序列的收敛性70

4.2 迭代法71

4.2.1 问题的提出71

4.2.2 雅可比(Jacobi)迭代法71

4.2.3 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法75

4.2.4 迭代公式归纳78

4.3.1 迭代法收敛的充要条件79

4.3 迭代法的收敛性79

4.3.2 迭代法收敛的充分条件(一)80

4.3.3 迭代法收敛的充分条件(二)82

4.3.4 迭代法收敛性判别归纳87

4.4 逐次超松驰方法(SOR方法)87

4.4.1 SOR公式87

4.4.2 SOR公式的矩阵形式88

4.4.3 SOR方法的计算表格89

4.4.4 SOR方法的收敛性90

习题491

5.1 预备知识(矩阵的特征值和特征向量)93

第5章 矩阵的特征值和特征向量的计算93

5.2 幂法与反幂法94

5.2.1 基本幂法94

5.2.2 规范化幂法95

5.2.3 原点平移法97

5.2.4 反幂法100

5.2.5 幂法与反幂法小结102

习题5104

6.1.2 插值多项式的存在惟一性105

6.1.1 插值问题105

6.1 一元代数函数插值105

第6章 插值法与曲线拟合105

6.2 拉格朗日(Lagrange)插值方法106

6.2.1 插值基函数106

6.2.2 Lagrange插值多项式107

6.2.3 Ln(x)的两种表达式107

6.2.4 插值应用举例108

6.2.5 插值余项110

6.2.6 Lagrange插值方法评价111

6.3.2 Newton均差插值多项式112

6.3.1 均差与均差表112

6.3 Newton均差插值方法112

6.3.3 均差的性质116

6.4 埃尔米特(Hermite)插值方法118

6.4.1 Hermite插值多项式118

6.4.2 两点三次Hermite插值公式119

6.4.3 分段低阶插值121

6.5 三次样条插值方法122

6.5.1 三次样条插值函数123

6.5.2 三次样条插值函数的构成123

6.5.3 第一边界条件下样条插值算法126

6.6 曲线拟合128

6.6.1 问题的提出128

6.6.2 实例分析129

6.6.3 超定方程组的最小二乘解135

6.6.4 多项式拟合的一般步骤136

6.6.5 曲线化直137

习题6138

7.1.2 数值求积公式141

7.1.1 关于牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式141

7.1 数值求积公式141

第7章 数值积分141

7.1.3 插值型求积公式142

7.1.4 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式143

7.2 数值求积公式的代数精度145

7.2.1 代数精度的概念145

7.2.2 插值型求积公式余项估计147

7.3 复化求积公式148

7.3.1 复化梯形公式148

7.3.2 复化Simpson公式149

7.3.3 复化Cotes公式149

7.3.4 小结151

7.4.1 变步长梯形方法(逐次半分法)152

7.4 龙贝格(Romberg)求积方法152

7.4.2 Romberg方法(逐次半分加速法)154

7.4.3 Romberg算法设计155

7.5 Gauss型求积公式157

7.5.1 两点Gauss公式157

7.5.2 正交多项式158

7.5.3 常用的Gauss型求积公式160

习题7164

8.1.1 一阶常微分方程的初值问题166

第8章 常微分方程初值问题的数值解法166

8.1 初值问题与数值解166

8.1.2 数值解与数值解法168

8.2 欧拉(Euler)公式与梯形公式169

8.2.1 Euler公式(显式与隐式)169

8.2.2 两步Euler公式(Euler中点公式)170

8.2.3 梯形公式170

8.3 Euler方法及其改进方法171

8.3.1 Euler方法171

8.3.2 改进的Euler方法175

8.4 单步方法的截断误差与阶177

8.5 尤格-库塔(Runge-Kutta)方法179

8.5.1 Runge-Kutta(简称R-K)方法的基本思路179

8.5.2 二阶R-K公式180

8.5.3 四阶R-K公式182

8.6 一阶常微分方程组初值问题的数值解法184

8.6.1 一阶常微分方程组的初值问题184

8.6.2 一阶常微分方程组的数值解法184

8.7 高阶方程初值问题的数值方法187

8.8.1 引言190

8.8 单步法的收敛性和稳定性190

8.8.2 单步方法的收敛性191

8.8.3 单步方法的稳定性192

习题8194

附录Ⅰ Matlab及其应用195

1.1 Matlab简介195

1.2 最优化方法计算203

1.3 数据分析211

1.4 数值分析常用算法219

附录Ⅱ 习题详解及参考答案231