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第一章 矩阵的运算与初等变换1

1 矩阵与向量的概念1

1.1 矩阵的概念1

1.2 向量的概念3

2 矩阵的运算4

2.1 矩阵加法4

2.2 数乘矩阵5

2.3 矩阵乘法6

2.4 矩阵的转置10

3 分块矩阵及矩阵的分块运算14

3.1 矩阵的分块加法运算16

3.2 矩阵的分块数乘运算16

3.3 矩阵的分块乘法运算17

3.4 分块矩阵的转置18

4 几种特殊矩阵20

4.1 对角矩阵20

4.2 上(下)三角形矩阵21

4.3 对称矩阵22

4.4 反称矩阵23

4.5 分块对角矩阵24

5 矩阵的初等变换26

5.1 引例26

5.2 矩阵的初等变换27

5.3 初等矩阵30

第二章 方阵的行列式34

1 n阶行列式的定义34

1.1 n阶行列式的引出34

1.2 全排列及其逆序数36

1.3 n阶行列式值的定义38

2 方阵行列式的性质42

3 展开定理与行列式的计算49

3.1 余子式和代数余子式49

3.2 行列式按一行(列)展开定理50

3.3 Laplace定理57

第三章 可逆矩阵63

1 可逆矩阵的定义与性质63

1.1 可逆矩阵的概念63

1.2 可逆矩阵的性质63

2 方阵可逆的充要条件与逆矩阵计算65

3 矩阵的秩74

第四章 线性方程组与向量组的线性相关性80

1 消元法与线性方程组的相容性80

1.1 线性方程组的相容性与Cramer法则80

1.2 用消元法解线性方程组83

2 向量组的线性相关性88

2.1 n维向量88

2.2 向量组的线性相关性88

3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩97

3.1 向量组的秩97

3.2 矩阵的行秩与列秩98

4 线性方程组解的结构103

4.1 齐次线性方程组解的结构104

4.2 非齐次线性方程组解的结构110

第五章 方阵的特征值 特征向量与相似化简117

1 数域 多项式的根117

1.1 数域117

1.2 多项式的根与标准分解式118

2 方阵的特征值与特征向量120

3 方阵相似于对角矩阵的条件127

3.1 相似矩阵及其性质128

3.2 方阵的相似对角化129

4 正交矩阵137

4.1 实向量的内积与长度137

4.2 正交向量组139

4.3 正交矩阵与正交变换142

4.4 共轭矩阵143

4.5 H-矩阵与酉矩阵144

5 实对称矩阵的相似对角化146

5.1 实对称矩阵特征值与特征向量的性质146

5.2 用正交变换实现实对称矩阵的相似对角化147

6 Jordan标准形简介158

6.1 多项式矩阵及其初等变换158

6.2 矩阵的Jordan标准形160

1 二次型及其矩阵169

第六章 二次型与对称矩阵169

2 二次型的标准形173

2.1 用正交变换化实二次型为标准形174

2.2 用配方法化二次型为标准形177

3 合同变换与二次型的规范形179

3.1 合同变换法179

3.2 实二次型的规范形183

3.3 复二次型的规范形186

3.4 实二次型规范形惟一性的证明187

4 实二次型的分类 正定二次型189

4.1 实二次型的分类189

4.2 正定二次型与正定矩阵190

4.3 负定、半正定与半负定二次型193

1.1 线性空间的定义196

第七章 线性空间196

1 线性空间及其子空间196

1.2 线性空间的基本性质200

1.3 线性空间的子空间201

1.4 子空间的交与和203

2 基与维数207

3 坐标与坐标变换215

3.1 向量的坐标215

3.2 基变换与坐标变换219

第八章 线性变换224

1 线性变换及其性质224

1.1 变换及其运算224

1.2 线性变换及其性质225

2.1 线性变换的矩阵231

2 线性变换的矩阵231

2.2 线性变换与矩阵的对应关系235

2.3 线性变换的特征值与特征向量240

3 线性变换的不变子空间243

第九章 欧氏空间246

1 欧氏空间的定义与基本性质246

1.1 欧氏空间的定义246

1.2 欧氏空间的基本性质 向量的长度及夹角248

2 度量矩阵与标准正交基253

2.1 欧氏空间的度量矩阵253

2.2 欧氏空间的标准正交基254

2.3 欧氏空间子空间的正交补257

3 正交变换与对称变换260

习题参考答案267

参考文献299