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第0章 科学家论数学与不等式1

第1章 平均与范数6

1.1常见的平均6

1.2著名平均与公理体系9

1.3一些其他的著名平均12

1.4关于两个量的平均22

1.5常见的范数29

习题30

参考文献31

第2章 几何平均-算术平均不等式34

2.1不等式G2≤A2的证明34

2.2不等式Gn≤An的证明40

2.3关于GA不等式的用场52

习题57

参考文献58

第3章 利用基本不等式方法60

3.1基本的不等式及其基本关系60

3.2利用GA不等式64

3.3 Holder, Cauchy和Minkowski不等式的相关注释73

3.4利用Cauchy不等式和Holder不等式79

3.5利用Minkowski不等式和三角形不等式87

3.6利用Bernoulli不等式91

3.7利用чeoьuueβ不等式94

3.8利用Jensen不等式99

习题101

参考文献103

第4章 数学归纳法与抽屉原理方法105

4.1数学归纳法105

4.2利用反向归纳法105

4.3利用一般数学归纳法109

4.4一种递推不等式121

4.5抽屉原理123

习题127

参考文献129

第5章 几何、图论、向量、复数和判别式方法130

5. 1几何方法130

5. 2图论方法141

5. 3向量方法143

5.4复数方法148

5. 5判别式方法157

习题166

参考文献169

第6章 凸性函数法173

6.1关于凸函数的一些知识173

6.2借助凸（凹）函数建立著名不等式178

6.3 Hermite-Hadamard不等式之推广184

6.4 Jensen不等式的另类推广和加细190

6. 5 γ—凸函数195

6.6几何凸函数及其相关性质199

习题202

参考文献203

第7章 单调方法208

7.1单调性的有关定理208

7.2利用函数的单调性209

习题219

参考文献220

第8章 中值定理法222

8. 1中值定理的有关知识222

8.2利用微分中值定理224

8.3利用积分中值定理234

习题235

参考文献236

第9章 极值方法238

9.1求极值的有关思路与定理238

9.2极值方法的证明240

习题256

参考文献257

第10章 确界方法和收缩方法259

10. 1确界的性质259

10.2利用确界性质证明不等式260

10.3收缩方法271

习题271

参考文献272

第11章 λ方法和Mercer方法273

11. 1 λ方法273

11.2 Mercer方法275

习题278

参考文献279

第12章 不等式与数学规划280

12.1函数方程法280

12.2动态规划的一种归纳程序284

12.3动态规划的模型285

12.4逆序解法与顺序解法 291 12.5来自经济学中的数学模型295

12.6连续的动态规划方法298

习题304

参考文献305

第13章 幂级数方法307

13.1有关幂级数的知识307

13.2利用幂级数建立不等式308

习题324

参考文献325

第14章Fourier级数方法327

14.1展开定理327

14.2利用Fourier级数建立不等式328

参考文献332

第15章 权系数方法334

15.1权系数方法335

15.2 Hardy-Hilbert型不等式的一些相关研究338

15.3发展的权函数方法342

15.4对加强的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法349

15.5对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法（1 ）355

15.6对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法（2）359

15.7对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式 使用权函数方法（3）362

15.8Carleman不等式367

习题373

参考文献373

第16章 恒等式法及其相关方法378

16.1恒等式法1（离散型）378

16.2恒等式法2（积分型）396

16.3放缩法402

16. 4松弛法407

16. 5代换方法407

习题416

参考文献419

第17章 受控方法421

17. 1控制不等式与凸性函数的基本知识422

17.2用受控方法建立不等式426

习题441

参考文献442

第18章 支撑函数方法444

18.1支撑函数的有关知识444

18.2利用支撑函数理论建立不等式447

18.3利用支撑函数建立行列式不等式453

习题456

参考文献456

第19章 拟线性化方法458

19.1拟线性化的有关知识458

19.2利用拟线性方法建立不等式460

习题465

参考文献465

第20章 用导数和积分的定义和性质466

20.1利用导数和积分的定义466

20.2利用积分的性质469

20.3利用多元积分和反常积分性质480

习题488

参考文献489

第21章Benson方法491

21.1建立不等式的Benson方法的思路491

21.2涉及（u′）2的不等式492

21.3涉及（u′）2n的不等式495

21.4涉及（u＂）2与（u＂）2n的不等式498

21.5涉及（u（n））2与（u（n））2m的不等式500

21.6涉及多元函数的不等式和导数的幂函数不等式502

习题504

参考文献505

第22章 逐步调整法507

22. 1逐步调整法的有关定理507

22.2利用局部逐步调整法建立不等式508

习题512

参考文献513

第23章 降维法514

23.1问题的提出515

23. 2GA不等式及其相关命题515

23.3一些著名的不等式518

23.4幂平均不等式和Fan型不等式521

23. 5再论构造函数因子法523

23. 6齐次对称函数不等式525

23. 7 L—单调函数方法536

习题545

参考文献545

第24章 物理方法549

24. 1关于形心的一些知识550

24.2一些不等式的形心法与光学法证明551

24.3热力学方面的一些知识561

24.4基本不等式的热力学证明562

习题564

参考文献564

第25章 泛函分析方法567

25.1利用线性赋范空间和内积空间的特性567

25.2利用算子的正性576

25.3利用非线性正泛函584

25.4 Hilbert空间上的Heinz-Kato-Furuta不等式591

25. 5利用转换点和不动点593

25.6利用算子谱论建立不等式598

习题599

参考文献600

第26章 变分方法603

26.1变分方法的若干基本知识603

26.2变分方法建立不等式的例子605

26.3参数表达泛函的极值与条件极值问题612

26.4使用Weierstrass的ε函数614

习题617

参考文献618

第27章 概率方法619

27.1概率论中有关知识和公式620

27.2解答来自高中的数学题621

27. 3利用概率方法建立不等式举例623

27.4利用概率方法建立著名不等式628

27.5利用概率方法建立积分不等式639

27. 6推广的对数平均与恒等平均642

习题644

参考文献645

第28章 矩阵方法647

28.1构造矩阵证明离散不等式647

28.2 Ferscha的构造矩阵方法661

28.3关于矩阵迹的基本不等式662

28.4矩阵形式的调和—几何-算术平均不等式664

28. 5矩阵形式的Holder, Minkowski及其他不等式666

28.6 Hadamard乘积与K ronecker乘积基本知识670

28.7 Hadamard乘积与Kronecker乘积的相关不等式672

28.8积和式及其相关不等式675

习题685

参考文献687

第29章 信息论方法693

29. 1信息论的基本知识和符号693

29.2用信息论方法建立不等式696

29. 3在Shannon熵中的应用（1）699

29.4在Shannon熵中的应用（2）702

29. 5距离函数和互信息704

习题706

参考文献706

30章 软件方法708

30. 1数学计算软件709

30.2使用数学软件证明举例713

30.3使用计算机证明720

30.4使用机械化证明的注释及其他应用721

参考文献722

31章 机械化方法724

31.1不完全柱形代数分解方法（PCAD）724

31.2配平方和方法（SOS）729

31.3差分代换方法（SDS）732

参考文献736