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第1章 椭圆函数1

1.1引言1

1.2双周期函数2

1.3基本周期对3

1.4椭圆函数5

1.5椭圆函数的构造6

1.6 Weierstrass（维尔斯特拉斯）？函数10

1.7？在原点附近的Laurent（洛朗）展开式11

1.8？满足的微分方程12

1.9 Eisenstein（艾森斯坦）级数和不变量g2和g313

1.10数e1，e2，e314

1.11判别式15

1.12 Klein（克莱因）模函数J（？）16

1.13J在单位模变换下的不变性18

1.14 g2 （？）和g3 （？）的Fourier（傅里叶）展开式20

1.15 △（?）和J（？）的Fourier（傅里叶）展开式21

第1章习题24

第2章 模群和模函数28

2.1 Mobius（莫比乌斯）变换28

2.2模群г30

2.3基本域32

2.4模函数36

2.5 J的特殊值41

2.6作为J的有理函数的模函数42

2.7 J的映射性质42

2.8对Eisenstein（艾森斯坦）级数反问题的应用44

2.9对Picard（毕卡）定理的应用45

第2章习题46

第3章Dedekind（戴德金）η函数50

3.1引言50

3.2定理3.1的Siegel（西格尔）证明51

3.3 △（？）的无穷乘积表示54

3.4η（？）的一般函数方程55

3.5 Iseki（伊塞基）变换公式57

3.6从Iseki（伊塞基）公式导出Dedekind（戴德金）函数方程61

3.7 Dedekind（戴德金）和的性质64

3.8 Dedekind（戴德金）和的互反律66

3.9 Dedekind（戴德金）和的同余性质68

3.10 Eisenstein（艾森斯坦）级数G2 （？）73

第3章习题74

第4章 关于模函数j的系数的同余式79

4.1引言79

4.2子群г0（q）80

4.3 г0（p）的基本域81

4.4在子群г0 （P）下自同构的函数83

4.5构造属于г0 （p）的函数85

4.6 fp在г的生成元作用下的行为88

4.7 函数？（？）＝△（q?）/△（?）89

4.8单叶函数？（？）91

4.9 （？）在г0（q）的变换下的不变性93

4.10把函数hp表示为？的多项式94

第4章习题97

第5章 分拆函数的Rademacher（拉德马切尔）级数100

5.1引言100

5.2证明的计划101

5.3用F表示Dedekind（戴德金）函数方程103

5.4 Farey（法雷）分数104

5.5 Ford（福特）圆106

5.6 Rademacher（拉德马切尔）的积分路径109

5.7 p（n）的Rademacher（拉德马切尔）收敛级数111

第5章习题117

第6章 具有积性系数的模形式121

6.1引言121

6.2权为k的模形式122

6.3关于整的模形式的零点和权的公式123

6.4用G4和G6表示整形式124

6.5线性空间Mk和其子空间Mko126

6.6用整形式的零点对其分类127

6.7 Hecke（赫克）算子Tn128

6.8阶为n的变换130

6.9 Tnf在模群下的行为133

6.10 Hecke（赫克）算子的积性134

6.11 Hecke（赫克）算子的特征函数137

6.12公共特征函数的性质138

6.13正规化公共特征函数的例子139

6.14关于M2k，0中存在公共特征函数的注记141

6.15关于整形式的Fourier（傅里叶）系数的估计142

6.16模形式和Dirichlet（狄利克雷）级数144

第6章习题146

第7章Kronecker（克罗内克）定理及其应用150

7.1用有理数逼近实数150

7.2 Dirichlet（狄利克雷）逼近定理151

7.3 Liouville（刘维尔）逼近定理154

7.4一维的Kronecker（克罗内克）逼近定理156

7.5把Kronecker（克罗内克）定理推广到联立逼近159

7.6对Riemann（黎曼）ζ函数的应用164

7.7对周期函数的应用167

第7章习题169

第8章 广义Dirichlet（狄利克雷）级数和Bohr（博尔）等价性172

8.1引言172

8.2广义Dirichlet（狄利克雷）级数的收敛半平面172

8.3 Dirichlet（狄利克雷）级数的指数序列的基177

8.4 Bohr（博尔）矩阵178

8.5和Dirichlet（狄利克雷）级数相关的Bohr（博尔）函数179

8.6 Dirichlet（狄利克雷）级数f（s）在直线？＝？？上所取的值的集合181

8.7广义Dirichlet（狄利克雷）级数的等价性185

8.8通常的Dirichlet（狄利克雷）级数的等价性186

8.9对于等价的Dirichlet（狄利克雷）级数，集合Uf（σ0）和集合Ug （σ0）的恒同188

8.10 Dirichlet（狄利克雷）级数在直线σ＝σ0的邻域中所取的值的集合188

8.11 Bohr（博尔）等价定理190

8.12定理8.15的证明191

8.13等价的Dirichlet（狄利克雷）级数的例子及Bohr（博尔）定理对于L-级数的应用196

8.14 Bohr（博尔）定理对Riemann（黎曼）ζ函数的应用197

第8章习题200

第3章补充Dedekind（戴德金）函数方程的另一种证明203

参考文献208