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第1章 函数、极限、连续1

1.1 函数1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数的表示法2

1.1.3 函数的几种特性2

1.1.4 反函数和复合函数3

1.1.5 初等函数3

1.1.6 实际问题建立的函数关系5

习题1-15

1.2 极限6

1.2.1 数列的极限6

1.2.2 函数的极限7

1.2.3 极限的性质9

习题1-210

1.3 极限的运算10

1.3.1 极限的运算法则10

1.3.2 两个重要极限12

习题1-314

1.4 无穷小与无穷大15

1.4.1 无穷小15

1.4.2 无穷小的比较16

1.4.3 无穷大量17

习题1-417

1.5 函数的连续性18

1.5.1 函数的连续18

1.5.2 连续函数的运算19

1.5.3 初等函数的连续20

1.5.4 间断点20

1.5.5 闭区间上连续函数的性质21

习题1-522

1.6 数学建模初步23

1.6.1 数学模型的概念23

1.6.2 数学模型的分类23

1.6.3 数学建模23

1.6.4 建立一次函数模型24

复习题一25

第2章 导数与微分27

2.1 导数的概念27

2.1.1 导数定义27

2.1.2 导数的意义31

2.1.3 可导与连续的关系33

习题2-133

2.2 函数的求导法则34

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则34

2.2.2 反函数求导法则35

2.2.3 复合函数求导法则36

2.2.4 基本初等函数导数公式36

习题2-237

2.3 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则38

2.3.1 隐函数求导法则38

2.3.2 对数求导法则38

2.3.3 由参数方程所确定的函数的导数40

2.3.4 高阶导数40

习题2-341

2.4 函数的微分42

2.4.1 微分的定义42

2.4.2 微分的几何意义44

2.4.3 微分公式与法则44

2.4.4 微分在近似计算中的应用45

习题2-446

2.5 应用模型46

2.5.1 速率问题46

2.5.2 钟表误差问题47

复习题二47

第3章 导数的应用50

3.1 洛必达法则50

3.1.1 洛必达法则Ⅰ（0/0型未定式）50

3.1.2 洛必达法则Ⅱ（∞/∞型未定式）51

习题3-151

3.2 函数单调性的判定——函数的极值52

3.2.1 微分中值定理52

3.2.2 单调性的判定54

3.2.3 极值55

3.2.4 最值问题56

习题3-258

3.3 函数图像的描绘59

3.3.1 曲线的凹凸性59

3.3.2 曲线的渐近线60

3.3.3 函数图形的描绘60

习题3-361

3.4 应用模型62

3.4.1 畅销问题62

3.4.2 流量问题62

复习题三63

第4章 不定积分65

4.1 不定积分的概念与性质65

4.1.1 原函数与不定积分的概念65

4.1.2 不定积分的性质66

习题4-167

4.2 不定积分的基本公式和法则——直接积分法67

4.2.1 不定积分的基本公式67

4.2.2 不定积分的运算法则69

4.2.3 直接积分法69

习题4-270

4.3 换元积分法70

4.3.1 第一类换元积分法70

4.3.2 第二类换元积分法74

习题4-377

4.4 分部积分法78

习题4-481

4.5 简易积分表及使用方法81

4.5.1 积分表81

4.5.2 例题81

习题4-583

4.6 应用模型83

4.6.1 成本问题83

4.6.2 石油的消耗量问题84

4.6.3 速度与位移问题84

复习题四85

第5章 定积分及其应用86

5.1 定积分的概念与性质86

5.1.1 两个引例86

5.1.2 定积分的定义88

5.1.3 定积分的几何意义88

5.1.4 定积分的性质89

习题5-191

5.2 牛顿—莱布尼兹公式91

5.2.1 积分上限函数及其导数91

5.2.2 牛顿一莱布尼茨公式92

习题5-293

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法94

5.3.1 定积分的换元积分法94

5.3.2 定积分的分部积分法95

习题5-396

5.4 广义积分97

5.4.1 无穷限的广义积分97

5.4.2 无界函数的广义积分99

习题5-4100

5.5 定积分在几何上的应用100

5.5.1 定积分的微元法100

5.5.2 求平面图形面积101

5.5.3 求空间立体体积104

习题5-5105

5.6 定积分在物理上的应用106

5.6.1 变力沿直线做功106

5.6.2 液体静压力107

习题5-6107

5.7 应用模型108

复习题五109

第6章 空间解析几何与向量代数112

6.1 空间直角坐标系112

6.1.1 空间直角坐标系112

6.1.2 空间两点间的距离113

习题6-1114

6.2 向量及其线性运算114

6.2.1 向量的概念114

6.2.2 向量的加、减法114

6.2.3 数与向量的乘法115

6.2.4 向量的坐标116

6.2.5 向量的模与方向余弦117

习题6-2118

6.3 向量的数量积与向量积118

6.3.1 两向量的数量积118

6.3.2 向量的向量积120

习题6-3123

6.4 平面及其方程123

6.4.1 平面的点法式方程123

6.4.2 平面的一般方程124

6.4.3 两平面的夹角、平行与垂直126

习题6-4127

6.5 空间直线及其方程127

6.5.1 空间直线的方程128

6.5.2 两直线的夹角、平行与垂直129

习题6-5130

6.6 常见的曲面方程及图形131

6.6.1 曲面方程的概念131

6.6.2 常见的曲面方程及其图形131

6.6.3 空间曲线135

习题6-6136

6.7 应用模型137

6.7.1 空间曲线参数方程的建立137

6.7.2 空间曲线在坐标面上的投影137

复习题六138

第7章 多元函数微分学140

7.1 多元函数140

7.1.1 多元函数的概念140

7.1.2 二元函数的极限和连续141

习题7-1143

7.2 偏导数143

7.2.1 偏导数的概念143

7.2.2 高阶偏导数145

习题7-2145

7.3 全微分及其应用146

7.3.1 全微分的概念146

7.3.2 全微分在近似计算中的应用147

习题7-3147

7.4 多元复合函数的微分148

7.4.1 复合函数的微分法148

7.4.2 隐函数的微分法151

习题7-4152

7.5 偏导函数的应用152

7.5.1 偏导数在几何上的应用152

7.5.2 多元函数的极值155

7.5.3 条件极值157

习题7-5158

7.6 应用模型158

复习题七159

第8章 多元函数积分学161

8.1 二重积分的概念与性质161

8.1.1 二重积分的定义162

8.1.2 二重积分的几何意义163

8.1.3 二重积分的性质163

习题8-1164

8.2 二重积分的计算165

8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算165

8.2.2 极坐标系下二重积分的计算168

习题8-2171

8.3 二重积分的应用171

8.3.1 二重积分在几何上的应用171

8.3.2 二重积分在物理上的应用173

习题8-3174

8.4 应用模型174

8.4.1 平面薄片的转动惯量174

8.4.2 平面薄片对质点的引力175

复习题八175

第9章 常微分方程178

9.1 常微分方程的一般概念178

9.1.1 微分方程的概念178

9.1.2 微分方程的解178

习题9-1179

9.2 可分离变量的微分方程180

9.2.1 可分离变量的微分方程180

9.2.2 齐次微分方程181

习题9-2182

9.3 一阶线性微分方程182

9.3.1 一阶线性齐次微分方程的通解183

9.3.2 一阶线性非齐次微分方程的通解183

习题9-3184

9.4 几种可降阶的二阶微分方程185

9.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程185

9.4.2 y""=f(x,y')型的微分方程185

9.4.3 y""=f(y,y')型的微分方程186

习题9-4187

9.5 二阶线性微分方程187

9.5.1 线性微分方程解的结构188

9.5.2 二阶线性常系数齐次微分方程189

9.5.3 二阶线性常系数非齐次微分方程191

习题9-5194

9.6 应用模型194

9.6.1 凹镜问题194

9.6.2 第二宇宙速度196

9.6.3 放射性元素的质量衰变规律197

复习题九198

第10章 级数200

10.1 常数项级数的概念与性质200

10.1.1 常数项级数的概念200

10.1.2 数项级数的性质202

习题10-1203

10.2 常数项级数的审敛法203

10.2.1 正项级数的审敛法203

10.2.2 交错级数审敛法205

10.2.3 绝对收敛与条件收敛206

习题10-2207

10.3 幂级数207

10.3.1 函数项级数的概念207

10.3.2 幂级数及其收敛性207

10.3.3 幂级数的运算210

习题10-3211

10.4 函数展开成幂级数211

10.4.1 泰勒级数211

10.4.2 函数展开成幂级数212

习题10-4215

10.5 周期为2π的函数展开成傅里叶级数215

10.5.1 三角级数215

10.5.2 周期为2π的函数展开成傅里叶级数216

习题10-5220

复习题十220

第11章 拉普拉斯（Laplace）变换223

11.1 Laplace变换及其存在性223

11.1.1 拉氏变换的定义223

11.1.2 拉氏变换的存在性224

习题11-1226

11.2 Laplace变换227

11.2.1 Laplace变换的基本性质227

11.2.2 卷积与卷积定理230

习题11-2232

11.3 拉氏逆变换232

11.3.1 性质求逆法233

11.3.1 卷积求逆法233

习题11-3237

11.4 拉氏变换的应用237

习题11-4239

复习题十一239

第12章 线性代数241

12.1 行列式的定义241

12.1.1 二阶和三阶行列式241

12.1.2 n阶行列式242

习题12-1244

12.2 行列式的性质与计算245

习题12-2248

12.3 克莱姆法则249

习题12-3251

12.4 矩阵的概念251

12.4.1 矩阵的定义251

12.4.2 几种特殊矩阵253

习题12-4254

12.5 矩阵的运算255

12.5.1 矩阵的加（减）法255

12.5.2 数与矩阵的乘法256

12.5.3 矩阵的乘法257

12.5.4 方阵的幂258

12.5.5 矩阵的转置259

12.5.6 方阵的行列式260

习题12-5261

12.6 逆矩阵261

12.6.1 逆矩阵的定义261

12.6.2 逆矩阵的求法262

习题12-6264

12.7 矩阵的初等变换265

12.7.1 矩阵初等变换的定义265

12.7.2 初等方阵267

12.7.3 利用初等变换求逆矩阵269

习题12-7270

12.8 矩阵的秩270

习题12-8272

12.9 一般线性方程组解的讨论272

12.9.1 高斯消元法272

12.9.2 一般线性方程组275

12.9.3 齐次线性方程组278

习题12-9281

复习题十二280

参考文献286