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第1章 命题逻辑1

本章学习目标1

1.1 命题及其表示法1

1.1.1 命题的概念1

第一部分 数理逻辑1

1.1.2 命题的表示3

1.2 命题联结词3

1.2.1 否定联结词3

1.2.3 析取联结词4

4.1.1 有序n元组4

1.2.2 合取联结词4

1.2.4 条件联结词5

1.2.5 条件联结词6

1.2.6 与非联结词7

1.2.7 或非联结词8

1.3 命题公式、翻译与解释8

1.3.1 命题公式8

1.3.2 命题的翻译9

1.3.3 命题公式的解释10

1.4 真值表与等价公式10

1.4.1 真值表10

1.4.2 命题公式的分类12

1.4.3 等价公式12

1.4.4 置换规则15

1.5 对偶与范式17

1.5.1 对偶17

1.5.2 范式19

1.5.3 主范式20

1.6.1 蕴涵的概念25

1.6 公式的蕴涵25

1.6.2 基本蕴涵式26

1.7 其他联结词与最小联结词组27

1.7.1 其他联结词27

1.7.2 最小联结词组28

1.8 命题逻辑推理理论28

1.8.1 命题逻辑推理理论28

1.8.2 推理规则30

1.8.3 推理常用方法30

习题34

本章小结34

第2章 谓词逻辑37

本章学习目标37

2.1 谓词逻辑命题的符号化37

2.2 谓词逻辑公式与解释41

2.2.1 谓词逻辑的合式公式41

2.2.2 约束变元与自由变元42

2.2.3 谓词逻辑公式的解释43

2.3.1 谓词逻辑的等价公式44

2.3 谓词逻辑约束公式的等价与蕴涵44

2.3.2 谓词逻辑的蕴涵公式48

2.3.3 多个量词的使用49

2.4 前束范式50

2.5 谓词演算的推理理论51

本章小结55

习题55

3.1 集合的概念与表示59

3.1.1 集合的基本概念59

本章学习目标59

第3章 集合59

第二部分 集合论59

3.1.2 集合的表示60

3.2 集合之间的关系61

3.3 集合的运算63

3.3.1 集合的并运算63

3.3.2 集合的交运算64

3.3.3 集合的补65

3.3.4 集合的对称差66

3.4 包含排斥原理67

本章小结70

习题71

4.1 序偶与笛卡儿积74

本章学习目标74

第4章 关系74

4.1.2 笛卡儿积的概念75

4.1.3 笛卡儿积的性质75

4.2 元关系及其表示77

4.2.1 元关系的概念77

4.2.2 二元关系的表示78

4.3 关系的运算80

4.3.1 关系的交、并、差、补运算80

4.3.2 关系的复合运算80

4.3.3 关系的逆运算84

4.4.1 自反性和反自反性85

4.4 关系的性质85

4.4.2 对称性和反对称性86

4.4.3 传递性87

4.4.4 关系性质的判定87

4.5 关系的闭包93

4.6 等价关系与集合的划分97

4.6.1 等价关系97

4.6.2 等价类98

4.6.3 集合的划分99

4.7 相容关系101

4.7.1 相容关系101

4.7.2 覆盖103

4.8.1 偏序关系105

4.8 偏序关系105

4.8.2 哈斯图106

4.8.3 全序关系108

4.8.4 良序关系110

本章小结110

习题110

第5章 函数114

本章学习目标114

5.1 函数的概念114

5.1.1 函数的基本概念114

5.1.2 几种特殊的函数115

5.2.1 复合函数116

5.2 复合函数与逆函数116

5.2.2 逆函数117

本章小结119

习题119

第6章 集合的基数120

本章学习目标120

6.1 基数的概念120

6.2 可数集和不可数集121

6.3 基数的比较123

本章小结125

习题125

本章学习目标126

第7章 图论126

第三部分 图论126

7.1 图的基本概念127

7.1.1 图的基本类型127

7.1.2 图中结点的度数129

7.1.3 完全图131

7.1.4 图的同构132

7.1.5 补图134

7.1.6 子图138

7.2 路与回路139

7.2.1 通路与回路139

7.2.2 图的连通性140

7.2.3 赋权图的最短通路144

7.2.4 关键路径147

7.3 图的矩阵表示149

7.3.1 图的邻接矩阵表示149

7.3.2 图的关联矩阵表示153

7.4 欧拉图155

7.4.1 欧拉图的定义155

7.4.2 欧拉图的判定156

7.5 哈密尔顿图159

7.5.1 哈密尔顿图159

7.5.2 哈密尔顿图的判定160

7.6.1 无向树163

7.6 树163

7.6.2 有向树166

7.6.3 周游算法169

7.6.4 前缀码与最优树171

7.7 部图和平面图175

7.7.1 二部图175

7.7.2 平面图179

本章小结187

习题187

8.1 二元运算及其性质191

本章学习目标191

第8章 代数结构191

第四部分 代数系统191

8.2 代数系统196

8.3 半群和独异点197

8.4 群与子群199

8.4.1 群199

8.4.2 群的性质200

8.4.3 子群201

8.5 阿贝尔群和循环群203

8.5.1 阿贝尔群203

8.5.2 循环群204

8.6.1 置换群206

8.6 置换群与伯恩赛德定理206

8.6.2 伯恩赛德定（Burnside）207

8.7 陪集和拉格朗日定理210

8.7.1 陪集210

8.7.2 拉格朗日定理211

8.8 同态与同构212

本章小结215

习题215

9.1 格的定义和性质220

9.1.1 格的定义220

本章学习目标220

第9章 格与布尔代数220

9.1.2 格的性质221

9.1.3 格与代数系统的对应223

9.2 分配格和有补格224

9.2.1 分配格224

9.2.2 有补格226

9.3 布尔代数228

9.3.1 布尔代数的概念228

9.3.2 布尔代数的性质228

9.3.3 布尔表达式230

本章小结231

习题232

参考文献236