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第一章 线性泛函分析基础1

1.1 拓扑空间1

1.1.1 拓扑空间的概念1

1.1.2 网4

1.1.3 连续映射5

1.1.4 距离空间6

1.1.5 距离空间的完备性7

1.2 拓扑线性空间8

1.2.1 拓扑线性空间的概念8

1.2.2 赋准范线性空间12

1.2.3 赋范线性空间13

1.2.4 内积空间14

1.3 紧性16

1.3.1 紧集的概念16

1.3.2 紧集上的连续映射17

1.3.3 Zorn引理18

1.3.4 紧空间的乘积空间18

1.3.5 Stone-Weierstrass定理19

1.3.6 距离空间中的列紧集与完全有界集22

1.3.7 有限维赋范线性空间的特征24

1.3.8 Banach-Alaoglu定理25

1.3.9 Hilbert空间单位球的弱紧性28

1.4 Hahn-Banach定理及其几何形式29

1.4.1 线性空间上线性泛函的延拓29

1.4.2 赋范线性空间上连续线性泛函的延拓30

1.4.3 自反空间31

1.4.4 凸集的分离性33

1.4.5 端点、Krein-Milman定理35

1.5 线性算子基本定理36

1.5.1 开映射定理36

1.5.2 逆算子定理和范数等价定理38

1.5.3 闭图像定理39

1.5.4 共鸣定理39

1.5.5 应用40

1.5.6 点列的收敛性43

习题46

第二章 谱论Ⅰ:Banach空间上的紧算子及Fredholm算子49

2.1 Banach代数中元素的谱49

2.1.1 代数和理想49

2.1.2 赋范代数50

2.1.3 Banach代数中元素的谱52

2.2.1 线性算子谱的概念57

2.2 线性算子的谱57

2.2.2 线性算子谱的分类58

2.2.3 近似谱点61

2.2.4 共轭算子及共轭算子的谱63

2.3 紧算子65

2.3.1 有限秩算子65

2.3.2 紧算子的概念66

2.3.3 紧算子的Riesz-Schauder理论70

2.3.4 Banach空间的直和分解72

2.3.5 紧算子的Riesz-Schauder理论（续）74

2.4.1 Fredholm算子的概念75

2.4 Fredholm算子75

2.4.2 Fredholm算子的性质76

习题80

第三章 谱论Ⅱ:Hilbert空间上的正规算子82

3.1 Banach代数的Gelfand表示82

3.1.1 可乘线性泛函82

3.1.2 Gelfand表示84

3.1.3 极大理想空间85

3.2 C*代数87

3.2.1 C*代数的概念87

3.2.2 C*代数中的正规元88

3.2.3 Gelfand-Naimark定理89

3.2.4 GNS构造90

3.3 谱测度和谱积分92

3.3.1 投影算子93

3.3.2 谱测度与谱积分94

3.3.3 谱系99

3.4 Hilbert空间上正规算子的谱分解99

3.4.1 谱定理与函数演算100

3.4.2 函数演算的扩充101

3.4.3 正规算子的谱分解定理102

3.4.4 正规算子的谱104

3.4.5 vonNeumann代数106

习题108

第四章 无界算子111

4.1 对称算子和自伴算子111

4.1.1 稠定算子的共轭算子111

4.1.2 对称算子与自伴算子的概念112

4.1.3 算子的图像114

4.1.4 对称算子为自伴算子的条件115

4.1.5 Cayley变换117

4.1.6 无界函数的谱积分120

4.1.7 自伴算子的谱分解定理124

4.2.1 闭对称算子的亏指数125

4.2 对称算子的自伴扩张125

4.2.2 正定双线性泛函127

4.2.3 半有界算子的Friedrichs扩张定理130

4.3 自伴算子的扰动131

4.3.1 可闭算子的扰动132

4.3.2 自伴算子的扰动135

4.3.3 自伴算子在扰动下的谱138

4.4 无界算子序列的收敛性140

4.4.1 预解意义下的收敛性141

4.4.2 图意义下的收敛性148

习题150

第五章 算子半群153

5.1 向量值函数153

5.1.1 向量值函数的连续性153

5.1.2 向量值函数的可导性154

5.1.3 向量值函数的Riemann积分156

5.1.4 向量值函数的可测性157

5.1.5 强可测与弱可测的关系157

5.1.6 算子值可测函数160

5.2.1 Pettis积分161

5.2 Bochner积分和Pettis积分161

5.2.2 Bochner积分164

5.2.3 Bochner积分的性质168

5.3 算子半群的概念171

5.3.1 算子半群概念的由来171

5.3.2 C0类算子半群173

5.3.3 算子半群的一些例子174

5.4 C0类算子半群的表示176

5.4.1 C0类算子半群无穷小母元的概念176

5.4.2 无穷小母元的预解式178

5.4.3 C0类算子半群的表示181

5.5 无穷小母元的特征185

5.5.1 C0类算子半群无穷小母元的特征185

5.5.2 标准型C0类算子半群母元的特征188

5.5.3 C0类压缩半群母元的特征189

5.5.4 Hilbert空间上C0类压缩半群母元的特征189

5.6 单参数酉算子群、Stone定理190

5.6.1 单参数算子群的无穷小母元191

5.6.2 Stone定理192

5.6.3 Stone定理的应用：Bochner定理195

5.7 遍历定理198

5.7.1 相空间上的保测变换198

5.7.3 不可压缩稳定流201

5.7.2 Boltzmann遍历假设201

5.7.4 遍历定理203

5.7.5 变换群的遍历性205

习题207

第六章 无穷维空间的微分学210

6.1 映射的微分210

6.1.1 Gateaux微分210

6.1.2 Frèchet微分213

6.1.3 高阶导数219

6.1.4 Taylor公式222

6.1.5 幂级数224

6.2.1 Cp映射与微分同胚226

6.2 隐函数定理226

6.2.2 隐函数的存在性227

6.2.3 隐函数的可微性229

6.3 泛函极值232

6.3.1 线性方程的解与二次泛函的极小问题232

6.3.2 泛函极值的必要条件235

6.3.3 泛函极值的存在性：下半弱连续条件236

6.3.4 最速下降法239

6.3.5 泛函极值的存在性：Palais-Smale条件243

习题246

7.1.1 C1类映射的拓扑度（非临界点情形）248

第七章 拓扑度248

7.1 Brouwer度248

7.1.2 3个引理252

7.1.3 C1类映射的拓扑度（一般情形）255

7.1.4 Brouwer度258

7.1.5 Brouwer度的性质259

7.2 Leray-Schauder度265

7.2.1 一个例子266

7.2.2 全连续映射267

7.2.3 Leray-Schauder度的定义268

7.2.4 Leray-Schauder度的性质270

7.3.1 Brouwer不动点定理275

7.3 不动点定理及其应用275

7.3.2 Schauder不动点定理276

7.3.3 非紧性测度279

7.3.4 集压缩映射的不动点282

7.3.5 Kakutani不动点定理283

7.3.6 应用：代数学基本定理285

7.3.7 应用：不变子空间285

7.3.8 应用：对策论基本定理287

习题288

参考文献289