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第七章 空间解析几何与向量代数1

第一节 向量及其线性运算1

一、向量的概念1

二、向量的线性运算2

三、向量在轴上的投影6

习题7—17

第二节 空间直角坐标系与向量的坐标7

一、空间直角坐标系7

二、向量的坐标与空间点的坐标8

三、向量线性运算的坐标表示10

四、向量的模与方向的坐标表示12

习题7—214

第三节 数量积 向量积 混合积16

一、两向量的数量积16

二、两向量的向量积19

三、三向量的混合积22

习题7—323

第四节 平面及其方程25

一、平面的点法式方程25

二、平面的一般方程26

三、两平面的夹角28

四、点到平面的距离30

习题7—431

第五节 空间直线及其方程31

一、空间直线的对称式方程与参数方程31

二、空间直线的一般方程33

三、两直线的夹角34

四、直线与平面的夹角35

五、平面束及其方程37

习题7—538

第六节 曲面及其方程39

一、曲面方程的概念39

二、柱面与旋转曲面41

三、二次曲面46

四、空间曲面的参数方程50

习题7—651

第七节 空间曲线及其方程52

一、空间曲线的一般方程52

二、空间曲线的参数方程53

三、空间曲线在坐标面上的投影54

习题7—758

第八节 曲线的向量方程与向量值函数59

一、向量值函数的极限与连续60

二、向量值函数的导数60

习题7—862

第八章 多元函数微分法及其应用63

第一节 多元函数的基本概念63

一、区域63

二、多元函数的概念66

三、多元函数的极限69

四、多元函数的连续性71

习题8—173

第二节 偏导数74

一、偏导数的定义与计算74

二、偏导数的几何解释77

三、偏导数的存在性与函数连续性的关系77

四、高阶偏导数79

习题8—280

第三节 全微分81

一、全微分的概念81

二、函数可微的条件82

三、全微分在近似计算中的应用85

习题8—387

第四节 多元复合函数的求导法则88

一、链式法则88

二、全微分形式不变性93

习题8—494

第五节 隐函数的微分法95

一、由一个方程确定的隐函数的微分法95

二、由方程组确定的隐函数的微分法98

习题8—5101

第六节 微分法在几何上的应用102

一、空间曲线的切线与法平面102

二、曲面的切平面与法线104

习题8—6108

第七节 方向导数与梯度109

一、方向导数109

二、梯度113

习题8—7117

第八节 多元函数的极值及其求法118

一、多元函数的极值118

二、最小值与最大值121

三、条件极值与拉格朗日乘数法123

习题8—8127

第九节 最小二乘法128

习题8—9132

第九章 重积分133

第一节 二重积分的概念与性质133

一、二重积分的概念133

二、二重积分的性质136

习题9—1137

第二节 二重积分的计算法138

一、利用直角坐标计算二重积分138

二、利用极坐标计算二重积分145

三、二重积分的换元法149

习题9—2153

第三节 三重积分的概念与计算156

一、三重积分的概念156

二、直角坐标系下三重积分的计算157

三、柱面坐标系下三重积分的计算161

四、球面坐标系下三重积分的计算163

习题9—3166

第四节 重积分的应用168

一、曲面的面积169

二、平面薄片与空间物体的质心171

三、转动惯量174

四、引力175

习题9—4176

第十章 曲线积分与曲面积分178

第一节 对弧长的曲线积分178

一、对弧长的曲线积分的概念与性质178

二、对弧长的曲线积分的计算法180

习题10—1183

第二节 对坐标的曲线积分184

一、对坐标的曲线积分的概念与性质184

二、对坐标的曲线积分的计算法187

三、两类曲线积分之间的关系191

习题10—2192

第三节 格林公式及其应用194

一、格林公式194

二、平面上曲线积分与路径无关的条件199

三、全微分求积203

四、全微分求积的应用—一阶全微分方程及其解法205

习题10—3207

第四节 对面积的曲面积分208

一、对面积的曲面积分的概念与性质208

二、对面积的曲面积分的计算法210

习题10—4212

第五节 对坐标的曲面积分213

一、对坐标的曲面积分的概念与性质213

二、对坐标的曲面积分的计算法218

三、两类曲面积分之间的关系222

习题10—5224

第六节 高斯公式 通量与散度224

一、高斯公式224

二、通量与散度228

习题10—6230

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度232

一、斯托克斯公式232

二、环流量与旋度236

习题10—7237

第十一章 无穷级数239

第一节 常数项级数的概念与性质239

一、常数项级数的概念239

二、数项级数的基本性质242

习题11—1245

第二节 正项级数及其审敛法245

一、比较审敛法246

二、比值审敛法与根值审敛法249

习题11—2251

第三节 任意项级数及其审敛法253

一、交错级数及其审敛法253

二、绝对收敛与条件收敛255

三、绝对收敛级数的性质257

习题11—3258

第四节 幂级数259

一、函数项级数的概念259

二、幂级数及其敛散性260

三、幂级数的运算与性质264

习题11—4267

第五节 函数展开成幂级数268

一、泰勒级数268

二、函数展开为幂级数271

习题11—5276

第六节 函数幂级数展开式的应用276

一、近似计算276

二、欧拉公式的证明278

三、微分方程的幂级数解法279

习题11—6281

第七节 傅里叶级数282

一、三角级数与三角函数系的正交性282

二、函数的傅里叶级数及其收敛定理284

三、函数展开为傅里叶级数287

习题11—7295

第八节 周期为2l的函数的傅里叶级数296

习题11—8302

习题答案304

主要参考书目319