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第1篇 复变函数3

第1章 复数3

1.1 复数的概念3

1.1.1 复数的定义3

1.1.2 复数的几何表示法4

1.2 复数的三种形式6

习题一8

1.3 共轭复数及复数的模的运算性质9

1.4 复数的三角形式的运算10

1.4.1 乘法与乘方10

1.4.2 除法11

1.4.3 开方12

习题二13

1.5 复数的应用13

1.5.1 复数与三角函数13

1.5.2 复数与不等式15

1.5.3 复数与方程16

1.5.4 复数与数列17

1.5.5 复数与几何18

第2章 复变函数20

2.1 区域的概念20

2.2 复变函数21

2.3 复变函数的连续性和可导性23

2.4 复变函数的解析性24

2.5 其他26

习题29

第2篇 积分变换33

第3章 傅里叶变换33

3.1 傅里叶级数33

3.1.1 三角级数、三角函数系的正交性33

3.1.2 函数展开成傅里叶级数34

3.1.3 奇函数、偶函数的傅里叶级数38

习题一40

3.2 周期为2l的周期函数的傅里叶级数40

习题二42

3.3 傅里叶变换43

3.3.1 傅里叶级数的复指数形式43

3.3.2 傅里叶变换的定义44

3.3.3 几种典型非周期信号的频谱45

习题三50

3.4 傅里叶变换的性质50

3.4.1 线性性质50

3.4.2 位移性质50

3.4.3 微分性质52

3.4.4 积分性质53

习题四53

3.5 卷积定理54

3.5.1 卷积的概念54

3.5.2 卷积定理55

习题五56

第4章 拉普拉斯变换57

4.1 拉普拉斯变换的基本概念57

4.1.1 拉普拉斯变换的概念57

4.1.2 几种常用函数的拉普拉斯变换58

4.1.3 拉普拉斯变换简表59

习题一65

4.2 拉普拉斯变换的性质65

4.2.1 线性性质65

4.2.2 平移性质65

4.2.3 微分性质67

4.2.4 积分性质68

习题二70

4.3 拉普拉斯逆变换70

4.3.1 简单像函数的拉普拉斯逆变换72

4.3.2 较复杂像函数的拉普拉斯逆变换77

习题三78

4.4 卷积和卷积定理78

4.4.1 卷积的概念78

4.4.2 卷积定理80

习题四81

4.5 利用拉普拉斯变换解微分方程（组）82

习题五84

第3篇 线性代数87

第5章 行列式87

5.1 二、三阶行列式87

5.1.1 行列式的定义87

5.1.2 二、三阶行列式的性质与计算91

5.2 n阶行列式95

5.2.1 排列（i1,i2,…,in）的逆序95

5.2.2 n阶行列式的定义96

5.2.3 n阶行列式的性质96

5.2.4 n阶行列式的计算97

5.3 n个方程n个元的线性方程组102

习题107

第6章 线性方程组108

6.1 高斯消元法109

6.2 n维向量114

6.2.1 n维向量及其线性运算115

6.2.2 向量的线性相关与线性无关117

6.3 矩阵的秩121

6.4 线性方程组的解127

习题131

第7章 矩阵133

7.1 矩阵的线性运算134

7.2 矩阵的乘积135

7.3 矩阵的逆矩阵141

7.4 转置矩阵146

7.5 矩阵经运算后秩的变化149

7.6 分块矩阵151

习题158

第8章 线性空间与线性变换160

8.1 线性空间的定义160

8.2 线性空间的基向量的坐标163

8.3 线性变换168

8.3.1 线性变换的定义及其基本性质168

8.3.2 线性变换在一组基下的对应矩阵170

8.4 矩阵的特征值与特征向量，矩阵化为对角矩阵的问题177

8.4.1 矩阵化为对角矩阵的问题177

8.4.2 矩阵化为对角矩阵的应用185

习题188

第9章 欧氏空间与二次型189

9.1 两个向量的内积189

9.2 n维欧氏空间的度量矩阵191

9.3 二次型198

9.3.1 二次型化为最简形式的表示199

9.3.2 正定二次型202

9.4 二次型通过正交变换化为标准型的问题，对称矩阵化为对角矩阵的问题205

习题211

第4篇 数值方法215

第10章 算术运算中的误差分析215

10.1 数值方法215

10.2 误差来源215

10.3 绝对误差和相对误差216

10.4 舍入误差与有效数字217

10.5 数据误差在算术运算中的传播218

10.6 机器误差219

10.6.1 计算机中数的表示219

10.6.2 浮点运算和舍入误差221

习题221

第11章 解线性方程组的直接方法223

11.1 解线性方程组的高斯消去法223

11.1.1 高斯消去法223

11.1.2 高斯列主元消去法226

11.2 直接三角分解法229

11.2.1 矩阵三角分解229

11.2.2 克鲁特方法229

11.2.3 解三对角线性方程的三对角算法（追赶法）234

11.3 行列式和逆矩阵的计算236

11.3.1 行列式的计算236

11.3.2 逆矩阵的计算237

11.4 向量和矩阵的范数239

11.4.1 向量范数239

11.4.2 矩阵范数241

11.4.3 条件数和摄动理论初步243

习题247

第12章 解线性方程组的迭代方法248

12.1 迭代法的基本理论248

12.1.1 基本思想248

12.1.2 收敛性概念及收敛的充要条件250

12.1.3 迭代法的收敛速度252

12.2 几种常用的迭代方法252

习题256

第13章 解非线性方程的数值方法257

13.1 区间分半法257

13.2 不动点迭代258

13.2 牛顿-拉弗森方法260

习题262

第14章 插值法263

14.1 拉格朗日插值公式264

14.1.1 拉格朗日插值多项式264

14.1.2 线性插值266

14.1.3 二次（抛物线）插值266

14.1.4 插值公式的余项267

14.2 逐次线性插值法271

14.2.1 逐次线性插值法271

14.2.2 Neville算法273

14.3 均差与牛顿插值公式274

14.3.1 均差275

14.3.2 牛顿均差插值多项式276

14.4 有限差与等距点的插值公式278

14.4.1 有限差278

14.4.2 牛顿前差和后差插值公式281

14.5 埃尔米特插值公式283

习题287

第15章 数值积分289

15.1 牛顿-科茨型数值积分公式290

15.1.1 牛顿-科茨型求积公式290

15.1.2 梯形公式和辛普森公式291

15.1.3 误差、收敛性和数值稳定性293

15.2 复合求积公式295

15.2.1 复合梯形公式296

15.2.2 复合辛普森公式297

15.3 区间逐次半分法299

习题301

参考文献302