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第1章 引论、准备知识1

1 引论1

2 关于偏微分方程的一些基本概念2

2.1 几个典型方程2

2.2 定解问题5

2.3 二阶方程5

2.4 一阶方程组8

3 Fourier变换和复数矩阵10

3.1 Fourier变换10

3.2 复数矩阵12

第2章 有限差分方法的基本概念13

1 有限差分格式13

1.1 网格剖分13

1.2 用Taylor级数展开方法建立差分格式14

1.3 积分方法17

1.4 隐式差分格式18

2 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性19

2.1 有限差分格式的截断误差19

2.2 有限差分格式的相容性22

2.3 有限差分格式的收敛性23

2.4 有限差分格式的稳定性25

2.5 Lax等价定理28

3 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法28

3.1 Fourier方法29

3.2 判别准则32

3.3 例子34

4 研究有限差分格式稳定性的其他方法37

4.1 Hirt启示性方法37

4.2 直接方法39

4.3 能量不等式方法42

习题44

第3章 双曲型方程的差分方法45

1 一阶线性常系数双曲型方程45

1.1 迎风格式45

1.2 Lax-Friedrichs格式46

1.3 Lax-Wendroff格式48

1.4 Courant-Friedrichs-Lewy条件49

1.5 利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式50

1.6 蛙跳格式52

1.7 数值例子53

2 一阶线性常系数方程组54

2.2 Lax-Wendroff格式55

2.3 迎风格式55

2.1 Lax-Friedrichs格式55

3 变系数方程及方程组57

3.1 变系数方程57

3.2 变系数方程组59

4 二阶双曲型方程60

4.1 波动方程的初值问题60

4.2 波动方程的显式格式61

4.3 波动的方程差分格式的C.F.L条件63

4.4 等价方程组的差分格式65

5 双曲型方程及方程组的初边值问题65

5.1 二阶双曲型方程的边界处理66

5.2 一阶双曲型方程及方程组的边界条件68

5.3 一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理69

6 二维问题73

6.1 一阶双曲型方程73

6.2 一阶双曲型方程组76

6.3 隐式格式和ADI格式77

习题80

第4章 抛物型方程的有限差分方法82

1 常系数扩散方程82

1.1 向前差分格式，向后差分格式82

1.2 加权隐式格式83

1.3 三层显式格式84

1.4 三层隐式格式87

1.5 跳点格式88

2 初边值问题90

2.1 第一类边界条件90

2.2 第三类边界条件90

2.3 数值例子91

2.5 Saul'ev算法94

2.4 关于稳定性分析的附注94

2.6 分组显式方法96

3 对流扩散方程97

3.1 中心显式格式97

3.2 修正中心显式格式98

3.3 迎风差分格式99

3.4 Samarskii格式101

3.5 指数型差分格式102

3.6 隐式格式104

4 变系数方程105

4.1 Taylor级数展开方法105

4.2 Keller盒式格式106

4.3 有限体积法107

4.4 间断系数问题109

4.5 隐式方程的解法111

5 多维问题112

5.1 一维格式的直接推广112

5.2 交替方向隐式格式114

5.3 局部一维格式116

5.4 预测-校正格式117

5.5 跳点格式118

5.6 三维问题119

6 应用120

6.1 具有粘性的波动方程120

6.2 混合方程组121

习题124

第5章 椭圆型方程的差分方法126

1 Poisson方程126

1.1 五点差分格式126

1.2 九点差分格式128

1.3 极坐标下的差分格式129

2 差分格式的性质131

2.1 存在惟一性问题131

2.2 差分方程解的收敛性132

3 边界条件的处理134

3.1 矩形区域135

3.2 一般区域135

4 变系数方程137

4.1 直接差分方法138

4.2 有限体积法138

5 双调和方程139

6 特征值问题140

习题141

1.1 守恒律的初值问题143

第6章 非线性问题的差分方法143

1 拟线性双曲型方程及方程组143

1.2 Riemann问题145

1.3 拟线性双曲型方程组146

2 守恒型差分格式149

2.1 Lax-Friedrichs差分格式149

2.2 守恒型差分格式150

2.3 数值例子154

3 TVD差分格式155

3.1 单调格式及保持单调格式155

3.2 TVD格式156

3.3 通量限制器方法158

4 特征线方法与迎风格式160

4.1 特征线方法160

4.2 迎风差分格式163

5 气体动力学方程组的经典差分方法166

5.1 气体动力学方程组167

5.2 von Neumann-Richtmyer方法167

5.3 Lax-Friedrichs格式169

5.4 Lax-Wendroff格式170

6 非线性抛物型方程的差分方法171

6.1 Richtmyer线性化方法173

6.2 拟线性扩散方程的隐式格式174

6.3 三层格式175

6.4 预估-校正方法176

7 可压缩的Navier-Stokes方程组178

7.1 微分方程178

7.2 一维模型问题179

7.3 显式时间分裂方法179

8.1 依赖时间的问题181

8 不可压缩的Navier-Stokes方程181

8.2 定态问题183

习题185

第7章 数学物理方程的变分原理187

1 变分问题介绍187

1.1 古典变分问题187

1.2 变分问题解的必要条件189

1.3 Rn中的变分问题192

2 一维数学物理问题的变分问题194

2.1 两点边值问题的变分形式195

2.2 非齐次约束边界条件的处理198

2.3 第二、三类边界条件199

3 高维数学物理问题的变分问题199

3.1 第一类边值问题的变分问题200

3.2 其他边值问题202

3.3 间断系数问题——有内边界的情形203

3.4 重调和方程边值问题的变分问题205

4 变分问题的近似计算206

4.1 Ritz方法206

4.2 Galerkin方法208

4.3 古典变分方法的数值例子208

5 权余量方法及其他方法210

习题213

第8章 有限元离散方法217

1 一维问题的有限元方法、线性元217

1.1 单元剖分及试探函数空间的构造218

1.2 有限元方程的形成219

1.3 数值例子225

2.1 单元剖分及试探函数空间的构造228

2 二维问题、三角形线性元228

2.2 有限元方程的形成232

2.3 例子240

3 高次插值243

3.1 一维问题的高次插值243

3.1.1 Lagrange插值244

3.1.2 Hermite插值247

3.2 二维问题三角形元的高次插值249

3.2.1 线性插值和面积坐标250

3.2.2 二次插值252

3.2.3 三次插值253

3.3 二维问题的矩形元254

3.3.1 双线性插值254

3.3.2 双二次插值255

3.3.3 Hermite插值256

3.4 等参数单元257

3.4.1 任意四边形单元257

3.4.2 等参数单元的概念和例259

习题260

第9章 其他一些课题264

1 基于变分原理的差分格式264

1.1 一维问题264

1.2 二维问题267

2 抛物型方程的有限元方法270

3 一些非线性问题273

3.1 非线性问题的一个例子273

3.2 变分不等方程简介275

3.2.1 Rn中光滑函数的最小问题275

3.2.2 障碍问题276

3.2.3 水坝的渗流问题278

4 混合有限元方法介绍279

4.1 一维问题的例子280

4.2 二维问题简介282

5 特征值问题的变分形式及有限元方法284

5.1 特征值问题284

5.2 特征值问题的Galerkin变分形式286

5.3 特征值问题的极小形式287

5.4 特征值问题的有限元方法289

5.5 例子291

6 边界元方法294

6.1 基本的边界积分关系式295

6.2 边界元近似297

6.3 数值例子300

7 多重网格方法303

7.1 模型问题，迭代法的分析304

7.1.1 一维和二维的模型例子304

7.1.2 网格方程迭代法的分析305

7.1.3 两层网格方程组的联系308

7.2 二重网格方法308

7.2.1 粗、细网上函数值的转移309

7.2.2 二重网格上的一个循环309

7.3 多重网格方法311

7.3.1 多重网格的一个V循环311

7.3.2 完全的多重网格方法312

习题312

参考文献314

索引315