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专题1 极限与连续1

1.1 基本概念与内容提要1

1.一元函数基本概念1

2.数列的极限1

3.函数的极限1

4.证明数列或函数极限存在的方法2

5.无穷小量2

6.无穷大量3

7.求数列或函数的极限的方法3

8.函数的连续性4

1.2 竞赛题与精选题解析5

1.求函数的表达式（例1.1—1.4）5

2.利用四则运算求极限（例1.5—1.18）7

3.利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.19—1.28）13

4.利用两个重要极限求极限（例1.29—1.32）20

5.利用等价无穷小因子代换求极限（例1.33—1.38）21

6.无穷小比较与无穷大比较（例1.39—1.42）23

7.连续性与间断点（例1.43—1.49）24

8.利用介值定理的证明题（例1.50—1.54）26

练习题一29

专题2 一元函数微分学31

2.1 基本概念与内容提要31

1.导数的定义31

2.左、右导数的定义31

3.微分概念31

4.基本初等函数的导数公式32

5.求导法则32

6.高阶导数33

7.微分中值定理33

8.泰勒公式与马克劳林公式33

9.洛必达法则34

10.导数在几何上的应用35

2.2 竞赛题与精选题解析36

1.利用导数的定义解题（例2.1—2.7）36

2.利用求导法则解题（例2.8—2.15）40

3.求高阶导数（例2.16—2.29）43

4.与微分中值定理有关的证明题（例2.30—2.49）49

5.马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.50—2.70）61

6.利用洛必达法则求极限（例2.71—2.81）75

7.导数在几何上的应用（例2.82—2.101）78

8.不等式的证明（例2.102—2.113）89

练习题二97

专题3一元函数积分学100

3.1 基本概念与内容提要100

1.不定积分基本概念100

2.基本积分公式100

3.不定积分的计算101

4.定积分基本概念102

5.定积分中值定理102

6.变限的定积分103

7.定积分的计算103

8.奇偶函数与周期函数定积分的性质103

9.定积分在几何与物理上的应用104

10.广义积分105

3.2 竞赛题与精选题解析106

1.求原函数（例3.1—3.4）106

2.求不定积分（例3.5—3.19）108

3.利用定积分的定义求极限（例3.2 0—3.26）113

4.应用积分中值定理解题（例3.27—3.32）116

5.变限的定积分的应用（例3.33—3.48）120

6.定积分的计算（例3.49—3.67）129

7.定积分在几何与物理上的应用（例3.68—3.79）136

8.积分不等式的证明（例3.80—3.107）144

9.积分等式的证明（例3.108—3.110）163

10.广义积分（例3.111—3.120）166

练习题三172

专题4 多元函数微分学175

4.1 基本概念与内容提要175

1.二元函数的极限与连续性175

2.偏导数与全微分175

3.多元复合函数与隐函数的偏导数177

4.高阶偏导数178

5.二元函数的极值178

6.条件极值178

7.多元函数的最值180

4.2 竞赛题与精选题解析180

1.求二元函数的极限（例4.1—4.2）180

2.二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3—4.8）181

3.求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.9—4.20）184

4.求高阶偏导数（例4.21—4.30）189

5.求二元函数的极值（例4.31—4.35）195

6.求条件极值（例4.36—4.39）199

7.求多元函数在有界闭域上的最值（例4.40—4.41）201

练习题四202

专题5 多元函数积分学205

5.1 基本概念与内容提要205

1.二重积分基本概念205

2.二重积分的计算206

3.交换二次积分的次序207

4.三重积分基本概念与计算207

5.重积分的应用209

6.曲线积分基本概念与计算209

7.格林公式212

8.曲面积分基本概念与计算212

9.斯托克斯公式215

10.高斯公式215

5.2 竞赛题与精选题解析216

1.二重积分的计算（例5.1—5.15）216

2.交换二次积分的次序（例5.16—5.26）223

3.三重积分的计算（例5.27—5.31）228

4.与重积分有关的不等式的证明（例5.32—5.38）231

5.曲线积分的计算（例5.39—5.44）236

6.应用格林公式解题（例5.45—5.55）240

7.曲面积分的计算（例5.56—5.58）247

8.应用斯托克斯公式解题（例5.59—5.60）250

9.应用高斯公式解题（例5.61—5.67）251

10.多元函数积分学的应用题（例5.68—5.77）256

练习题五262

专题6 空间解析几何265

6.1 基本概念与内容提要265

1.向量的基本概念与向量的运算265

2.空间的平面266

3.空间的直线266

4.空间的曲面267

5.空间的曲线268

6.2 竞赛题与精选题解析269

1.向量的运算（例6.1—65）269

2.空间平面的方程（例6.6—6.9）271

3.空间直线的方程（例6.10—6.15）272

4.空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.16—6.27）274

5.空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.28—6.32）280

练习题六284

专题7 级数286

7.1 基本概念与内容提要286

1.数项级数的主要性质286

2.正项级数敛散性判别法286

3.任意项级数敛散性判别法287

4.幂级数的收敛半径、收敛域与和函数287

5.初等函数关于x的幂级数展开式287

6.傅氏级数288

7.2 竞赛题与精选题解析289

1.判别正项级数的敛散性（例7.1—7.16）289

2.判别任意项级数的敛散性（例7.17—7.28）298

3.求幂级数的收敛域与和函数（例7.29—7.46）305

4.求数项级数的和（例7.47—7.54）316

5.求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.55—7.61）321

6.求函数的傅氏级数展开式（例7.62）324

练习题七325

专题8 微分方程327

8.1 基本概念与内容提要327

1.微分方程的基本概念327

2.一阶微分方程327

3.二阶微分方程328

4.微分方程的应用330

8.2 竞赛题与精选题解析330

1.微分方程的特解（例8.1—8.3）330

2.变量可分离方程的应用题（例8.4—8.8）331

3.齐次微分方程的应用题（例8.9）335

4.一阶线性微分方程的应用题（例8.10—8.12）336

5.求解二阶线性微分方程（例8.13—8.20）337

6.求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.21—8.22）342

练习题八343

练习题答案与提示345