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绪论1

第一章 函数、极限与连续7

1.1函数的概念7

1.1.1区间与邻域7

1.1.2函数概念8

1.1.3初等函数10

习题1—116

1.2极限17

1.2.1函数的极限17

1.2.2函数极限的主要性质21

1.2.3无穷小量和无穷大量21

习题1—223

1.3极限的性质23

1.3.1无穷小量的性质23

1.3.2极限运算法则24

1.3.3夹逼定理和两个重要极限28

1.3.4无穷小的比较及应用31

习题1—334

1.4函数的连续性35

1.4.1函数的连续性36

1.4.2函数的间断点37

1.4.3连续函数的性质及初等函数的连续性39

1.4.4闭区间上连续函数的性质41

习题1—442

第二章 导数与微分44

2.1导数的概念44

2.1.1导数的定义44

2.1.2导数的几何意义47

2.1.3函数的可导性与连续性的关系48

习题2—150

2.2函数的求导法则51

2.2.1导数的四则运算法则51

2.2.2反函数的求导法则52

2.2.3复合函数的求导法则54

2.2.4初等函数的求导法则与导数公式55

习题2—256

2.3隐函数与参数方程的求导法、高阶导数57

2.3.1隐函数的导数57

2.3.2由参数方程确定的函数的导数59

2.3.3高阶导数60

习题2—362

2.4变化率问题举例63

习题2—468

2.5函数的微分68

2.5.1微分的定义69

2.5.2微分的几何意义71

2.5.3微分的运算法则及微分公式表71

2.5.4微分在近似计算中的应用73

习题2—573

第三章 中值定理与导数的应用75

3.1中值定理75

习题3—178

3.2洛必达法则79

习题3—282

3.3函数的单调性与曲线的凹凸性83

3.3.1函数的单调性83

3.3.2曲线的凹凸性与拐点84

习题3—387

3.4函数极值与最大、最小值87

3.4.1函数极值的定义87

3.4.2函数极值的判别与求法88

3.4.3最大、最小值问题90

习题3—492

3.5函数图形的描绘93

习题3—594

第四章 一元函数积分学及其应用95

4.1定积分的概念与性质95

4.1.1定积分概念的引入95

4.1.2定积分的定义97

4.1.3定积分的几何意义98

4.1.4定积分的性质100

习题4—1101

4.2微积分基本定理与微积分基本公式102

4.2.1微积分基本定理102

4.2.2微积分基本公式104

4.2.3不定积分105

习题4—2108

4.3两种基本积分法109

4.3.1换元积分法109

4.3.2分部积分法117

4.3.3初等函数的积分问题121

习题4—3121

4.4定积分的应用122

4.4.1定积分的微元法123

4.4.2定积分在几何中的应用124

4.4.3定积分在物理中的应用127

习题4—4129

4.5广义积分130

4.5.1无限区间的广义积分130

4.5.2无界函数的广义积分131

习题4—5133

第五章 空间解析几何及多元函数微分学134

5.1空间直角坐标系及向量134

5.1.1空间直角坐标系134

5.1.2向量的概念及其运算135

习题5—1137

5.2空间平面与空间直线的方程137

5.2.1空间平面的方程138

5.2.2空间直线的方程139

习题5—2140

5.3空间曲面与曲线的方程141

5.3.1曲面及其方程141

5.3.2二次曲面143

5.3.3空间曲线的方程144

习题5—3145

5.4多元函数的基本概念145

5.4.1区域145

5.4.2多元函数的概念146

5.4.3多元函数的极限147

5.4.4多元函数的连续性148

习题5—4148

5.5偏导数149

5.5.1偏导数的定义及其计算法149

5.5.2偏导数的几何意义150

5.5.3高阶偏导数151

习题5—5152

5.6全微分及其计算152

5.6.1全微分的定义152

5.6.2函数可微的条件153

5.6.3全微分的计算154

习题5—6155

5.7多元函数求导法则155

5.7.1多元复合函数的求导法则155

5.7.2隐函数的求导公式156

习题5—7157

5.8微分法在几何上的应用158

5.8.1空间曲线的切线与法平面158

5.8.2曲面的切平面与法线159

习题5—8160

5.9方向导数与梯度160

5.9.1方向导数160

5.9.2梯度162

习题5—9163

5.10多元函数的极值163

5.10.1多元函数的极值163

5.10.2条件极值165

习题5—10167

第六章 重积分168

6.1二重积分的概念与性质168

6.1.1二重积分问题举例168

6.1.2二重积分的定义170

6.1.3二重积分的性质171

习题6—1173

6.2二重积分的计算方法173

6.2.1在直角坐标系下二重积分的计算173

6.2.2在极坐标系下二重积分的计算180

习题6—2182

6.3二重积分的应用183

6.3.1平面薄片的质心和转动惯量183

6.3.2曲面的面积185

习题6—3187

6.4对孤长的曲线积分187

6.4.1对弧长的曲线积分的定义187

6.4.2对弧长的曲线积分的性质189

6.4.3对弧长的曲线积分的计算方法189

6.4.4应用举例191

习题6—4192

6.5对坐标的曲线积分192

6.5.1对坐标的曲线积分的定义192

6.5.2对坐标的曲线积分的性质194

6.5.3对坐标的曲线积分的计算方法194

习题6—5197

6.6格林公式及其应用197

6.6.1单、复连通区域198

6.6.2格林公式198

习题6—6201

第七章 常微分方程202

7.1微分方程的基本概念202

习题7—1205

7.2一阶微分方程205

7.2.1可分离变量的微分方程206

7.2.2一阶线性微分方程207

7.2.3一阶微分方程应用举例210

习题7—2212

7.3二阶常系数线性微分方程213

7.3.1二阶线性微分方程解的结构213

7.3.2二阶常系数线性齐次微分方程214

7.3.3二阶常系数线性非齐次微分方程216

7.3.4综合应用举例219

习题7—3221

第八章 无穷级数222

8.1常数项级数的概念和性质222

8.1.1常数项级数的概念222

8.1.2常数项级数的基本性质224

习题8—1225

8.2常数项级数的审敛法226

8.2.1正项级数及其审敛法226

8.2.2交错级数及其审敛法229

8.2.3绝对收敛与条件收敛230

习题8—2231

8.3幂级数232

8.3.1函数项级数的概念232

8.3.2幂级数及其收敛域233

8.3.3幂级数的运算与性质237

习题8—3239

8.4函数展开成幂级数239

8.4.1泰勒公式与泰勒级数239

8.4.2函数展开成幂级数240

习题8—4244

8.5傅里叶级数244

8.5.1三角函数系的正交性244

8.5.2傅里叶级数245

8.5.3傅里叶级数的收敛性246

8.5.4定义在[—π，π]或[0，π上的函数展开成傅里叶级数248

8.5.5周期为2l的周期函数的傅里叶级数250

习题8—5252

附录一 初等数学常用公式253

附录二 极坐标简介257

附录三 常用平面曲线259

附录四 常用积分表262

参考答案271