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篇要 高数解题的四种思维定势1

第一篇 高等数学7

第一章 函数·极限·连续7

1.1 函数7

一、函数的定义7

二、函数的定义域的求法8

三、函数的基本性质9

四、分段函数13

五、初等函数14

1.2 函数的极限及其连续性18

一、概念18

二、重要定理与公式20

1.3 极限的求法27

一、未定式的定值法27

二、 类未定式31

三、数列的极限32

四、极限式中常数的确定（重点）37

五、杂例40

习题一43

第二章 导数与微分47

2.1 定义·定理·公式47

一、导数与微分的定义47

二、定理49

三、导数与微分的运算法则49

四、基本公式50

五、弧微分50

2.2 各类函数导数的求法51

一、复合函数微分法51

二、参数方程微分法52

三、隐函数微分法53

四、幂指函数微分法54

五、函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法55

六、分段函数微分法55

2.3 高阶导数57

一、定义与基本公式57

二、高阶导数的求法57

习题二60

第三章 不定积分64

3.1 不定积分的概念与性质64

一、不定积分的概念64

二、基本性质64

三、基本公式65

3.2 基本积分法66

一、第一换元积分法（也称凑微分法）66

二、第二换元积分法70

三、分部积分法74

3.3 各类函数积分的技巧及分析79

一、有理函数的积分79

二、简单无理函数的积分81

三、三角有理式的积分82

四、含有反三角函数的不定积分85

五、抽象函数的不定积分86

六、分段函数的不定积分87

习题三88

第四章 定积分及反常积分91

4.1 定积分性质及有关定理与公式91

一、基本性质91

二、定理与公式94

4.2 定积分的计算法97

一、牛顿—莱布尼茨公式98

二、定积分的换元积分法98

三、定积分的分部积分法100

4.3 特殊形式的定积分计算101

一、分段函数的积分101

二、被积函数带有绝对值符号的积分103

三、被积函数中含有“变限积分”的积分104

四、对称区间上的积分106

五、被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分107

六、由三角有理式与其他初等函数通过四则或复合而成的函数的积分108

七、杂例109

4.4 定积分有关命题证明的技巧111

一、定积分等式的证明111

二、定积分不等式的证明119

习题四（1）125

4.5 反常积分127

一、基本概念127

二、题型归纳及思路提示128

习题四（2）129

第五章 中值定理的证明技巧130

5.1 连续函数在闭区间上的性质130

一、基本定理130

二、有关闭区间上连续函数的命题的证法130

习题五（1）132

5.2 微分中值定理及泰勒公式133

一、基本定理133

二、泰勒公式134

5.3 证题技巧分析137

一、欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝0的命题证法137

二、欲证结论：至少？一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（≠0）及其代数式的证法139

三、欲证结论：在（a，b）内至少？ξ，η，ξ≠η满足某种关系式的命题的证法144

习题五（2）145

第六章 常微分方程147

6.1 基本概念147

一、微分方程147

二、微分方程的阶147

三、微分方程的解147

6.2 一阶微分方程148

一、各类一阶方程解法一览表148

二、解题技巧及分析149

6.3 可降阶的高阶方程157

一、可降阶的高阶方程解法一览表157

二、解题技巧及分析157

6.4 高阶线性微分方程158

一、二阶线性微分方程解的结构158

二、二阶常系数线性微分方程160

三、n阶常系数线性方程161

四、欧拉方程166

6.5 微分方程的应用167

一、在几何中的应用167

二、在力学中的应用169

习题六170

第七章 一元微积分的应用173

7.1 导数的应用173

一、利用导数判别函数的单调增减性173

二、利用导数研究函数的极值与最值174

三、关于方程根的研究180

四、函数作图184

7.2 定积分的应用187

一、微元法及其应用187

二、平面图形的面积189

三、立体体积191

四、平面曲线的弧长192

五、旋转体的侧面积193

六、变力作功、引力、液体的静压力193

习题七196

第八章 无穷级数199

8.1 基本概念及其性质199

8.2 数项级数判敛法200

一、正项级数∞ ∑ n=1un，（un≥0）敛散性的判别法200

二、交错级数∑（-1）n-1un（un＞0）的判敛法205

三、任意项级数206

四、杂例208

8.3 幂级数211

一、函数项级数的概念211

二、幂级数213

8.4 无穷级数求和219

一、幂级数求和函数219

二、数项级数求和223

8.5 傅里叶级数227

一、概念、定理227

二、周期与非周期函数的傅里叶级数228

习题八232

第九章 矢量代数与空间解析几何236

9.1 矢量的概念及其性质236

一、概念及其运算236

二、矢量之间的关系237

9.2 平面与直线241

9.3 投影方程246

9.4 曲面方程248

习题九252

第十章 多元函数微分学254

10.1 基本概念及定理与公式254

一、二元函数的定义254

二、二元函数的极限及连续性255

三、偏导数、全导数及全微分256

四、基本定理257

10.2 多元函数微分法259

一、简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法259

二、复合函数微分法260

三、隐函数微分法263

10.3 多元函数微分学在几何上的应用266

一、空间曲线在某点处的切线和法平面方程266

二、空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程267

10.4 多元函数的极值269

一、概念、定理与公式269

二、条件极值与无条件极值269

习题十274

第十一章 重积分277

11.1 概念·性质·公式277

一、概念277

二、性质277

三、公式280

11.2 二重积分的解题技巧281

一、？f（x，y）dσ的解题程序281

二、极坐标系中积分限的确定282

三、典型例题分析283

11.3 二重积分的证题技巧289

一、有关等式的证明289

二、二重积分不等式的证明291

11.4 三重积分的计算293

一、？f（x，y，z）dv的解题程序293

二、坐标系的选择293

三、球面坐标系中积分限的确定294

四、更换积分次序295

五、三重积分计算296

习题十一297

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步302

12.1 曲线积分的概念及性质302

一、对弧长的曲线积分302

二、对坐标的曲线积分302

三、两种曲线积分之间的关系303

12.2 曲线积分的理论及计算方法303

一、基本定理303

二、对弧长的曲线积分的计算方法304

三、对坐标的曲线积分∫L P（x，y）dx＋Q（x，y）dy的计算法305

12.3 曲面积分的概念与性质311

一、对面积的曲面积分311

二、对坐标的曲面积分311

三、两种曲面积分之间的关系312

12.4 曲面积分的理论与计算方法312

一、基本定理312

二、对面积的曲面积分的计算法313

三、对坐标的曲面积分的计算法314

12.5 曲面面积的计算法319

12.6 场论初步320

一、概念与公式320

二、例题选讲321

习题十二324

第十三章 函数方程与不等式证明326

13.1 函数方程326

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程326

二、利用极限求解函数方程327

三、利用导数的定义求解方程328

四、利用变上限积分的可导性求解方程328

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解329

六、利用解微分方程的方法求解f（x）330

13.2 不等式的证明333

一、引入参数法333

二、利用微分中值定理334

三、利用函数的单调增减性（重点）336

四、利用函数的极值与最值337

五、利用函数图形的凹凸性339

六、利用泰勒展开式339

七、杂例341

习题十三342

篇要 线性代数的八种思维定势345

第二篇 线性代数349

第一章 行列式349

1.1 行列式的概念349

一、排列与逆序349

二、n阶行列式的定义350

1.2 性质、定理与公式351

一、行列式的基本性质351

二、行列式按行（列）展开定理354

三、重要公式与结论354

1.3 典型题型分析355

题型一 抽象行列式的计算355

题型二 低阶行列式的计算356

题型三 n阶行列式的计算358

1.4 杂例363

习题一365

第二章 矩阵367

2.1 矩阵的概念与运算367

一、矩阵的概念367

二、矩阵的运算367

2.2 逆矩阵370

一、逆矩阵的概念370

二、利用伴随矩阵求逆矩阵371

三、矩阵的初等变换与求逆372

四、分块矩阵及其求逆373

五、矩阵的秩及其求法373

2.3 典型题型分析373

题型一 求逆矩阵373

题型二 求矩阵的高次幂Am376

题型三 有关初等矩阵的命题378

题型四 解矩阵方程378

题型五 求矩阵的秩380

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明382

题型七 关于方阵A可逆的证明382

题型八 与A的伴随阵A有关联的命题的证明383

题型九 关于矩阵秩的命题的证明385

习题二386

第三章 向量391

3.1 基本概念391

一、向量的概念与运算391

二、向量间的线性关系391

三、向量组的秩和矩阵的秩392

四、向量空间393

3.2 重要定理与公式395

3.3 典型题型分析396

题型一 讨论向量组的线性相关性396

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明399

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示405

题型四 有关向量组线性表示命题的证明406

题型五 求向量组的极大线性无关组408

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明410

题型七 与向量空间有关的命题414

习题三416

第四章 线性方程组419

4.1 概念、性质、定理419

一、克莱姆法则419

二、线性方程组的基本概念419

三、线性方程组解的判定420

四、非齐次组Ax＝b与齐次组Ax＝0解的关系420

五、线性方程组解的性质421

六、线性方程组解的结构421

4.2 典型题型分析422

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）422

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论425

题型三 讨论两个方程组的公共解430

题型四 有关基础解系的证明432

题型五 综合题433

习题四438

第五章 特征值和特征向量442

5.1 概念与性质442

一、矩阵的特征值和特征向量的概念442

二、特征值与特征向量的计算方法442

三、相似矩阵及其性质443

四、矩阵可相似对角化的充要条件443

五、对称矩阵及其性质443

5.2 重要公式与结论444

5.3 典型题型分析445

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量445

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量446

题型三 特征值、特征向量的逆问题447

题型四 相似的判定及其逆问题449

题型五 判断A是否可对角化451

题型六 综合应用问题453

题型七 有关特征值、特征向量的证明题458

习题五460

第六章 二次型463

6.1 基本概念与定理463

一、二次型及其矩阵表示463

二、化二次型为标准型463

三、用正交变换法化二次型为标准形464

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法464

6.2 典型题型分析467

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质467

题型二 化二次型为标准形468

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数471

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明473

习题六476

篇要 概率统计的九种思维定势478

第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率484

1 基本概念、性质与公式484

一、随机试验和随机事件484

二、事件的关系及其运算484

三、事件的概率及其性质486

四、条件概率与事件的独立性487

五、重要概型489

六、重要公式489

2 典型题型分析490

题型一 古典概型与几何概型490

题型二 事件的关系和概率性质的命题493

题型三 条件概率与积事件概率的计算495

题型四 全概率公式与Bayes公式的命题496

题型五 有关Bernoulli概型的命题499

习题一501

第二章 随机变量及其分布504

1 基本概念、性质与公式504

一、概念与公式一览表504

二、重要的一维分布507

三、重要的二维分布509

2 典型题型分析510

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题510

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数513

题型三 求一维随机变量函数的分布517

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查520

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论522

题型六 求两个随机变量的简单函数的分布529

习题二533

第三章 随机变量的数字特征540

1 基本概念、性质与公式540

一、一维随机变量的数字特征540

二、二维随机变量的数字特征542

三、几种重要的数学期望与方差543

四、重要公式与结论544

2 典型题型分析544

题型一 求一维随机变量的数字特征544

题型二 求一维随机变量函数的数学期望548

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征551

题型四 有关数字特征的证明题560

题型五 应用题561

习题三564

第四章 大数定律和中心极限定理568

1 基本概念与定理568

一、切比雪夫不等式568

二、中心极限定理568

三、重要公式与结论569

四、注意569

2 典型题型分析569

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题569

题型二 有关中心极限定理的命题571

习题四574

第五章 数理统计的基本概念575

1 基本概念、性质与公式575

一、几个基本概念575

二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布576

三、正态总体下常用统计量的性质576

四、重要公式与结论577

2 典型题型分析578

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量578

题型二 求统计量的分布580

习题五581

第六章 参数估计584

1 基本概念、性质与公式584

一、矩估计与极大似然估计584

二、估计量的评选标准585

三、区间估计586

四、重要公式与结论587

2 典型题型分析588

题型一 求矩估计和极大似然估计588

题型二 评价估计的优劣592

题型三 区间估计或置信区间的命题593

习题六596

第七章 假设检验598

1 基本概念与公式598

一、显著性检验的基本思想598

二、假设检验的基本步骤598

三、两类错误598

四、正态总体未知参数的假设检验599

五、假设检验与区间估计的联系600

2 典型题型分析600

题型一 正态总体的均值和方差的假设检验600

题型二 有关两类错误的命题601

习题七602