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第七章 向量代数与空间解析几何1

第一节 空间直角坐标系1

一、空间中点的坐标1

二、空间中两点间的距离3

习题7－14

第二节 向量及其线性运算5

一、向量的概念5

二、向量的线性运算6

习题7－29

第三节 利用坐标作向量的代数运算9

一、向量在数轴上的投影9

二、向量的坐标12

三、向量的模与方向余弦13

习题7 －315

第四节 数量积 向量积 混合积16

一、两向量的数量积16

二、两向量的向量积19

三、向量的混合积22

习题7－425

第五节 平面及其方程26

一、平面的点法式方程26

二、平面的一般方程27

三、平面的截距式方程28

四、两平面的夹角29

五、点到平面的距离31

习题7 －532

第六节 空间直线及其方程33

一、空间直线的一般方程33

二、空间直线的对称式方程与参数方程33

三、两直线的夹角36

四、直线与平面的夹角37

五、直线与平面的交点38

六、平面束39

七、杂例40

习题7－642

第七节 曲面及其方程43

一、曲面方程的概念43

二、球面44

三、柱面45

四、旋转曲面46

习题7－748

第八节 空间曲线及其方程48

一、空间曲线的一般方程48

二、空间曲线的参数方程50

三、空间曲线在坐标面上的投影51

习题7 －853

第九节 二次曲面53

一、椭球面54

二、单叶双曲面55

三、双叶双曲面57

四、椭圆抛物面58

五、双曲抛物面59

六、空间区域简图61

习题7－962

第八章 多元函数微分法及其应用63

第一节 多元函数的基本概念63

一、平面点集63

二、多元函数概念65

三、二元函数的极限68

四、多元函数的连续性70

习题8－172

第二节 偏导数73

一、偏导数的定义及计算法73

二、偏导数的几何意义76

三、高阶偏导数76

习题8－278

第三节 全微分及其应用79

一、全微分的定义79

二、全微分在近似计算中的应用82

习题8 －384

第四节 多元复合函数的求导法则85

一、复合函数的微分法则85

二、全微分形式的不变性89

习题8－490

第五节 隐函数的求导公式91

一、由一个方程所确定的隐函数的情形91

二、由方程组所确定的隐函数的情形94

习题8－596

第六节 偏导数的几何应用97

一、空间曲线的切线与法平面97

二、曲面的切平面与法线101

习题8－6103

第七节 方向导数与梯度104

一、方向导数104

二、梯度106

习题8 －7110

第八节 二元函数的泰勒公式110

习题8 －8113

第九节 多元函数的极值及其求法113

一、多元函数的极值及最大值、最小值113

二、条件极值 拉格朗日乘数法119

习题8 －9123

第九章 重积分124

第一节 二重积分的概念与性质124

一、二重积分的概念124

二、二重积分的性质128

习题9－1130

第二节 二重积分的计算法131

一、利用直角坐标计算二重积分131

二、利用极坐标计算二重积分138

三、二重积分的换元法143

习题9－2145

第三节 三重积分的概念及其计算法148

一、三重积分的概念148

二、用直角坐标计算三重积分150

三、用柱面坐标和球面坐标计算三重积分153

习题9 －3157

第四节 重积分的应用159

一、计算曲面的面积159

二、重积分在静力学的应用162

习题9－4165

第五节 含参变量的积分166

习题9 －5170

第十章 曲线积分与曲面积分171

第一节 对弧长的曲线积分171

一、对弧长的曲线积分的概念与性质171

二、对弧长的曲线积分的计算法173

习题10－1177

第二节 对坐标的曲线积分178

一、对坐标的曲线积分的概念与性质178

二、对坐标的曲线积分的计算法181

三、两类曲线积分之间的联系185

习题10－2186

第三节 格林公式及其应用188

一、格林公式188

二、平面上曲线积分与路径无关的条件191

三、二元函数的全微分求积194

习题10 －3197

第四节 对面积的曲面积分198

一、对面积的曲面积分的概念198

二、对面积的曲面积分的计算法199

习题10－4202

第五节 对坐标的曲面积分202

一、对坐标的曲面积分的概念202

二、对坐标的曲面积分的计算方法206

习题10－5209

第六节 高斯公式 通量与散度210

一、高斯公式210

二、通量与散度213

习题10－6215

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度216

一、斯托克斯公式216

二、环流量与旋度217

三、向量微分算子218

习题10－7219

第十一章 无穷级数221

第一节 数项级数的概念和性质221

一、数项级数的概念221

二、收敛级数的基本性质224

三、级数收敛的必要条件225

习题11－1226

第二节 正项级数的审敛法227

习题11－2234

第三节 任意项级数的审敛法235

一、交错级数及其审敛法235

二、绝对收敛与条件收敛236

习题11－3238

第四节 广义积分的审敛法 Г函数238

一、广义积分的审敛法238

二、Г函数243

习题11－4244

第五节 幂级数245

一、函数项级数的一般概念245

二、幂级数及其收敛性246

三、幂级数的运算及和函数的性质252

四、函数项级数的一致收敛性255

习题11－5259

第六节 函数展开成幂级数260

一、泰勒（Taylor）公式260

二、泰勒（Taylor）级数261

三、函数展开成幂级数263

习题11－6267

第七节 函数的幂级数展开式的应用267

一、近似计算267

二、欧拉公式271

习题11 －7273

第八节 傅里叶级数273

一、三角函数系的正交性274

二、函数展开成傅里叶级数275

习题11 －8280

第九节 正弦级数和余弦级数281

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数281

二、函数展开成正弦级数或余弦级数282

习题11 －9284

第十节以2l为周期的函数的傅里叶级数284

习题11－10288

第十一节 傅里叶级数的复数形式289

习题11－11291

第十二章 常微分方程292

第一节 微分方程的基本概念292

一、引例292

二、基本概念294

习题12－1297

第二节 可分离变量方程与齐次方程298

一、可分离变量方程298

二、齐次方程300

习题12－2304

第三节 一阶线性微分方程与伯努利方程305

一、一阶线性微分方程305

二、伯努利（Bernoulli）方程309

习题12－3311

第四节 全微分方程312

一、全微分方程312

二、积分因子法314

习题12－4319

第五节 可降阶的高阶微分方程320

一、y″＝f（x）型的微分方程320

二、y″＝f（ x ， y ′）型的微分方程322

三、y″＝f（ y， y ）型的微分方程323

习题12－5325

第六节 线性微分方程解的一般理论326

一、线性齐次微分方程解的结构326

二、非齐次线性微分方程及其解的结构329

三、求非齐次线性微分方程特解的常数变异法331

习题12－6332

第七节 常系数齐次线性微分方程333

一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解333

二、n阶常系数齐次线性微分方程的通解336

习题12－7337

第八节 常系数非齐次线性微分方程338

一、f（x）＝ eλxPm （ x）型339

二、f（x）＝e λx[Pl（x）cosωx＋Pn （x） sinωx]型344

习题12 －8348

第九节 微分方程的应用举例348

一、衰变问题349

二、落体问题350

三、追踪问题352

四、力学系统354

五、电路系统357

六、生态系统358

习题12－9361

第十节 欧拉方程362

习题12－10366

第十一节 微分方程的幂级数解法366

一、一阶微分方程的幂级数特解367

二、二阶线性方程幂级数解法367

习题12－11370

第十二节 常系数线性微分方程组370

一、常系数线性微分方程组解的结构371

二、常系数线性微分方程组解法举例372

习题12－12376

附录ⅢMathematica软件使用入门和数学实验378

第一节 Mathematica软件使用入门378

一、启动和退出379

二、数与运算符380

三、变量381

四、函数383

五、表385

六、程序设计387

七、函数作图390

八、教学助手393

九、帮助系统395

第二节 数学实验395

实验一 极限396

实验二 导数401

实验三 极值与最值406

实验四 积分410

实验五 微分方程416

实验六 求和与级数421

习题参考答案425