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第一编 微积分的基础概念1

第一章 点集及有关概念1

1．1 实数与数轴(R)1

一、数的概念的产生与发展简述1

二、实数的定义1

三、实数的性质2

1．2 二维实空间(R~2)与三维实空间(R~3)3

一、概念3

二、实空间(R、R~2、R~3)中的几何结构3

三、实空间的代数结构3

1．3 复空间(C)4

一、概念4

二、C与R~2的异同4

1．4 n维实空间(欧几里德空间)(R~n)4

一、概念4

二、R~n中的线性运算4

三、R~n中两点间的距离4

四、R~n中的内积、模5

1．5 R~n中的点集及有关概念5

一、点P_0的邻域5

二、点集的内点、外点、界点5

三、点集的聚点、孤立点6

四、开集与闭集6

五、集合的连通性7

六、区域与闭区域7

七、有界集7

八、点集的直径7

教学要求7

练习题7

第二章 函数9

2．1 一元实函数9

一、基本初等函数9

二、形形色色的函数9

三、初等函数10

四、函数关系的表示方法10

五、描述函数关系的特征的几个概念10

2．2 函数概念的推广12

一、集合之间的映射12

二、函数的一般概念12

三、常见函数及其几何、物理背景12

2．3 二元函数与空间曲面16

一、二元函数与空间曲面的关系16

二、几种常见曲面的方程16

三、直观地表示二元函数变化态势的几何方法19

2．4 空间曲线及其方程22

一、空间曲线的方程22

二、空间直线的方程23

2．5 复变函数23

一、概念23

二、复基本初等函数24

教学要求27

练习题28

第三章 函数的极限33

3．1 一元函数的极限33

一、极限的概念33

二、无穷小量及其性质37

三、极限的运算法则37

四、极限计算的基本方法37

3．2 一元函数极限的进一步讨论40

一、极限概念的量化40

二、极限的性质43

三、极限运算法则的证明45

四、复合函数的极限的证明45

五、极限存在准则45

六、极限与子极限的关系48

七、含参量的极限50

3．3 无穷小量的阶51

3．4 极限概念的推广52

一、多元函数的极限52

二、多元函数自变量趋于无穷大时的极限53

三、一元向量函数的极限53

四、n元m维向量函数的极限53

3．5 极限的性质与运算法则54

一、性质54

二、运算法则54

3．6 复变函数的极限55

教学要求56

练习题56

第四章 函数的连续性59

4．1 一元函数的连续性59

一、函数连续性的概念59

二、连续函数的运算法则60

三、初等函数的连续性61

四、闭区间上连续函数的性质61

五、函数连续性的应用62

4．2 函数连续性概念的推广64

一、n元m维向量函数Y=F(X)在X_0点连续的定义64

二、连续函数的四则运算及复合65

三、有界闭区域上连续函数的性质66

四、压缩映射及其不动点66

教学要求66

练习题66

第二编 微分学68

第五章 一元函数微分学68

5．1 一元函数导数概念68

一、导数概念的原型68

二、一元函数导数的定义68

三、导函数概念69

四、可导与连续的关系70

5．2 导数计算70

一、求导法则70

二、求导基本公式73

三、求导方法73

5．3 高阶导数78

一、概念78

二、高阶导数的计算79

5．4 一元函数的微分81

一、微分的概念81

二、微分的计算82

三、高阶微分84

四、微分的应用84

5．5 微分中值定理及其应用85

一、函数的增减性与导数的关系及微分中值定理85

二、微分中值定理的证明86

三、罗必塔法则88

四、泰勒定理91

五、曲线的凸性94

六、函数y＝f(x)作图问题小结96

七、函数的极值与最值98

八、利用导数证明不等式101

5．6 一元向量函数的导数与微分102

一、一元向量函数的导数102

二、导向量的运算法则103

三、一元向量函数的微分103

教学要求104

练习题104

第六章 多元函数微分学110

6．1 二元函数的导数与微分110

一、二元函数的偏导数110

二、二元函数的高阶偏导数111

三、二元函数的方向导数112

四、二元函数的全微分112

五、二元函数连续、可导、可微的关系113

六、二元函数的梯度115

6．2 n元函数的导数与微分116

一、概念与计算116

二、多元复合函数求导的链式法则118

三、隐函数微分法121

四、多元函数微分在几何上的应用125

6．3 多元函数的泰勒公式129

6．4 多元函数的极值131

一、多元函数的极值131

二、多元函数的条件极值132

6．5 多元向量函数的导数与微分134

一、多元向量函数的偏导数(偏导向量)134

二、多元向量函数的方向导数135

三、多元向量函数的微分136

四、复合函数的微分138

6．6 复变函数的导数与微分139

一、复变函数导数的定义139

二、复变函数导数的运算法则139

三、复变函数微分的定义及计算140

四、复变函数可导的充要条件141

五、复变函数导数的几何意义142

六、复变函数与二元二维向量函数的关系144

教学要求146

练习题146

第七章 微分学综合练习150

7．1 数据拟合与曲线拟合150

一、数据拟合150

二、曲线拟合150

练习150

7．2 曲线族性态的讨论151

练习152

7．3 平面到平面的映射152

练习154

7．4 映射的不动点及迭代法155

练习156

7．5 微分学在方程求根问题中的应用156

练习157

7．6 二元函数的等值线图及其应用158

练习159

附录Ⅰ 行列式·线性方程组的解160

一、二元一次方程组的解160

二、二阶行列式160

三、三阶行列式161

四、三元一次方程组的解163

五、n阶行列式164

附录Ⅱ 复数及其运算168

一、复数的概念168

二、复数的四则运算168

三、复数的模与辐角169

四、复数的乘幂与方根170

五、复数的指数形式171

附录Ⅲ 向量及其代数运算172

一、向量的概念172

二、向量的线性运算172

三、向量的坐标175

四、空间直角坐标系175

五、向量的内积176

六、向量的外积178

七、混合积179

附录Ⅳ 矩阵及其线性运算181

一、定义181

二、矩阵的线性运算181

三、方阵的逆方阵183

附录Ⅴ MATHEMATICA软件简介185

一、MATHEMATICA软件(简称MATH软件)的安装与打开185

二、MATH软件的基本功能及相应的命令185