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第一章 空间解析几何与向量1

1.1 空间直角坐标系1

1.1.1 空间点的直角坐标1

1.1.2 空间两点间的距离4

习题1.15

1.2 向量及其线性运算6

1.2.1 向量的概念6

1.2.2 向量的线性运算8

习题1.214

1.3 向量的数量积15

1.3.1 向量的数量积15

1.3.2 方向角和方向余弦19

1.3.3 投影20

习题1.321

1.4 向量的向量积22

1.4.1 向量的向量积22

1.4.2 混合积28

习题1.430

1.5 曲面及其方程31

1.5.1 曲面方程的概念31

1.5.2 旋转曲面33

1.5.3 柱面34

习题1.536

1.6.1 空间曲线的一般方程37

1.6 空间曲线及其方程37

1.6.2 空间曲线的参数方程38

1.6.3 空间曲线在坐标面上的投影40

习题1.641

1.7 平面及其方程42

1.7.1 平面的点法式方程42

1.7.2 平面的一般式方程44

1.7.3 平面的截距式方程45

1.7.4 两平面的夹角46

1.7.5 点到平面的距离48

习题1.749

1.8.1 空间直线的一般式方程50

1.8 空间直线及其方程50

1.8.2 空间直线的对称式方程51

1.8.3 空间直线的参数方程52

1.8.4 两直线的夹角54

1.8.5 直线与平面的夹角55

1.8.6 直线与平面的交点56

1.8.7 平面束59

习题1.861

1.9 二次曲面62

1.9.1 椭球面63

1.9.2 抛物面64

1.9.3 双曲面65

1.9.4 二次锥面67

习题1.968

1.10.1 向量函数70

1.10 向量函数和空间曲线70

1.10.2 向量函数确定的空间曲线71

1.10.3 向量函数的导数和积分73

习题1.1077

1.11 空间曲线的弧长和曲率79

1.11.1 弧长79

1.11.2 曲率82

1.11.3 主法向量和次法向量85

习题1.1188

1.12 质点在空间的运动89

1.12.1 速度和加速度89

1.12.2 加速度的切向分量和法向分量92

1.12.3 开普勒定律94

习题1.1297

1.13 演示与实验(三维图形的绘制，球面与柱面相交)98

总习题一111

第二章 多元函数微分学117

2.1 多元函数的基本概念117

2.1.1 一些点集知识117

2.1.2 多元函数119

2.1.3 多元函数的极限127

2.1.4 多元函数的连续性130

习题2.1133

2.2 偏导数134

2.2.1 偏导数的定义及其计算法134

2.2.2 高阶偏导数139

习题2.2142

2.3 全微分145

2.3.1 空间曲面的切平面145

2.3.2 全微分146

习题2.3153

2.4 链式法则155

习题2.4164

2.5 隐式求导法165

2.5.1 一个方程的情形165

2.5.2 方程组的情形169

习题2.5174

2.6 方向导数与梯度176

2.6.1 方向导数176

2.6.2 梯度及其意义180

习题2.6187

2.7 极植189

2.7.1 极值与最大值、最小值189

2.7.2 条件极值的拉格朗日乘子法200

习题2.7207

2.8 演示与实验(等高线图的绘制，梯度线的绘制，切平面与法线)209

习题2.8220

总习题二221

第三章 多重积分226

3.1 二重积分的概念226

3.1.1 两个等价问题226

3.1.2 定义229

3.1.3 简单性质233

习题3.1235

3.2.1 利用直角坐标计算二重积分237

3.2 二重积分的计算237

3.2.2 利用极坐标计算二重积分249

习题3.2256

3.3 二重积分的应用260

3.3.1 曲面面积260

3.3.2 物理应用264

习题3.3268

3.4 三重积分269

3.4.1 三重积分的概念269

3.4.2 三重积分的计算274

习题3.4285

3.5.1 利用柱面坐标计算三重积分287

3.5 利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分287

3.5.2 利用球面坐标计算三重积分291

习题3.5298

3.6 重积分的变量变换300

习题3.6313

3.7 演示与实验(积分区域投影，重积分计算)315

习题3.7321

总习题三322

第四章 曲线积分和曲面积分328

4.1 数量值函数的曲线积分328

习题4.1335

4.2 向量场.向量场的曲线积分336

4.2.1 向量场336

4.2.2 向量场的曲线积分339

习题4.2346

4.3 格林定理及其应用348

4.3.1 格林定理348

4.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件353

4.3.3 全微分求积.全微分方程356

4.3.4 能量守恒定律360

习题4.3361

4.4 曲面的参数方程和曲面面积364

4.4.1 曲面的参数方程364

4.4.2 曲面的切平面368

4.4.3 曲面面积369

习题4.4373

4.5.1 数量函数的曲面积分375

4.5 曲面积分375

4.5.2 向量函数的曲面积分380

习题4.5391

4.6 奥-高公式 通量和散度393

4.6.1 奥-高公式393

4.6.2 通量和散度398

习题4.6400

4.7 斯托克斯公式 环流量和旋度403

4.7.1 斯托克斯公式403

4.7.2 环量和旋度408

习题4.7412

4.8 演示与实验(莫比乌斯带，函数绘图)414

总习题四422

习题4.8422

5.1 无穷数列427

5.1.1 无穷数列的概念427

第五章 无穷数列和级数427

5.1.2 数列的几何表示429

5.1.3 数列的极限430

5.1.4 单调数列和有界数列434

习题5.1436

5.2 无穷级数438

5.2.1 基本概念438

5.2.2 级数收敛的必要条件443

5.2.3 收敛级数的基本性质444

习题5.2447

5.3.1 正项级数及其基本性质451

5.3 正项级数451

5.3.2 比较判别法452

5.3.3 比值判别法457

5.3.4 根值判别法459

5.3.5 积分判别法461

5.3.6 余和及误差估计464

习题5.3468

5.4 任意项级数471

5.4.1 交错级数471

5.4.2 绝对收敛与条件收敛474

5.4.3 判别级数敛散性的策略479

习题5.4480

5.5.1 函数项级数的一般概念482

5.5 幂级数482

5.5.2 幂级数及其收敛性483

5.5.3 幂级数的和函数491

5.5.4 幂级数的运算493

习题5.5499

5.6 函数展开成幂级数502

5.6.1 泰勒级数和麦克劳林级数503

5.6.2 函数展开成幂级数的方法507

5.6.3 函数展开成幂级数的应用514

习题5.6521

5.7 广义积分的审敛法和Γ函数523

5.7.1 广义积分的敛散性判别法523

5.7.2 Γ函数及其基本性质529

习题5.7532

5.8 傅里叶级数533

5.8.1 三角级数及三角函数系的正交性534

5.8.2 函数展开成傅里叶级数536

5.8.3 正弦级数和余弦级数544

5.8.4 周期为2l的周期函数的傅里叶级数549

习题5.8553

5.9 演示与实验(雪花模型)554

总习题五559

微积分应用课题565

附录1 二阶和三阶行列式简介574

习题答案579