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绪论 实数1

1.有理数域1

1.前言1

2.有理数域的顺序2

3.有理数的加法及减法2

4.有理数的乘法及除法4

5.阿基米德公理6

2.无理数的导入·实数域的顺序7

6.无理数的定义7

7.实数域的顺序10

8.辅助命题11

9.用无尽小数来表示实数12

10.实数域的连续性14

11.数集的界16

3.实数的算术运算18

12.实数的和的定义18

13.加法的性质19

14.实数的积的定义21

15.乘法的性质22

16.结论24

17.绝对值25

18.根的存在·以有理数为指数的幂26

4.实数的其他性质及应用26

19.以任意实数为指数的幂27

20.对数30

21.线段的度量31

第一章 极限论34

1.整序变量及其极限34

22.变量、整序变量34

23.整序变量的极限37

24.无穷小量38

25.例题39

26.关于有极限的整序变量的一些定理43

27.无穷大量45

2.极限的定理·若干容易求得的极限47

28.对等式及不等式取极限47

29.关于无穷小的预备定理49

30.变量的算术运算50

31.不定式52

32.极限求法的例题55

33.施笃兹定理及其应用59

3.单调整序变量62

34.单调整序变量的极限62

35.例题64

36.敖C69

37.数e的近似计算法71

38.关于区间套的预备定理74

4.收敛原理·部分极限76

39.收敛原理76

40.部分数列及部分极限78

41.波查诺-魏施德拉司预备定理79

42.上限及下限81

第二章 一元函数85

1.函数概念85

43.变量及其变动区域85

44.变量间的函数关系，例题86

45.函数概念的定义87

46.函数的解析表示法90

47.函数的圆线92

48.几类最重要的函数94

49.反函数的概念99

50.反三角函数101

51.函数的叠置·总结106

2.函数的极限107

52.函数的极限的定义107

53.变成整序变量的情形109

54.例题112

55.极限理论的拓广120

56.例题123

57.单调函数的极限125

58.波查诺-柯希的一般判定法126

59.函数的上限及下限128

3.无穷小及无穷大的分级128

60.无穷小的比较128

61.无穷小的尺度129

62.等价无穷小131

63.主部的分出133

64.应用题135

65.无穷大的分级137

4.函数的连续性及间断137

66.函数在一点处的连续性的定义137

67.连续函数的算术运算139

68.连续函数的例题140

69.单方连续·间断的分类142

70.间断函数的例题143

71.单调函数的连续性及间断146

72.初等函数的连续性147

73.连续函数的叠置149

74.一个函数方程的解149

75.指数函数、对数函数及幂函数的函数特性151

76.三角余弦及双曲余弦的函数特性152

77.函数的连续性在计算极限时的应用154

78.幂指数式157

79.例题158

5.连续函数的性质160

80.关于函数取零值的定理160

81.应用于解方程163

82.介值定理163

83.反函数的存在165

84.关于函数的有界性的定理167

85.函数的最大值及最小值168

86.均匀连续的概念170

87.康托定理172

88.薄莱尔预备定理173

89.基本定理的新证明175

第三章 导数及微分179

1.导数及其求法179

90.求动点速度的问题179

91.在曲线上作切线的问题180

92.导数的定义182

93.求导数的例题186

94.反函数的导数190

95.导数公式一览表192

96.函数的增量的公式193

97.求导数的几个简单法则194

98.复合函数的导数196

99.例题197

100.单方导数203

101.无穷导数204

102.特殊情形的例题205

2.微分206

103.微分的定义206

104.可微性与导数存在之间的关系207

105.微分法的基本公式及法则209

106.微分的形式不变性211

107.微分是近似公式的来源213

108.应用微分来估计误差215

109.费马定理217

3.微分学的基本定理217

110.达布定理219

111.洛尔定理220

112.拉格朗奇公式221

113.导数的极限223

114.柯希公式225

4.高阶导数及高阶微分226

115.高阶导数的定义226

116.任意阶导数的普遍公式228

117.莱伯尼兹公式232

118.例题234

119.高阶微分236

120.高阶微分的形式不变性的破坏237

121.参变量微分法238

122.有限差分240

5.戴劳公式242

123.多项式的戴劳公式242

124.任意函数的展开式·余项的皮亚诺式244

125.例题247

126.余项的其他形式251

127.近似公式254

6.插值法260

128.插值法的最简单问题·拉格朗奇公式260

129.拉格朗奇公式的余项261

130.有重基点的插值法·埃尔密特公式263

第四章 利用导数研究函数265

1.函数的动态的研究265

131.函数为常数的条件265

132.函数为单调的条件267

133.不等式的证明270

134.极大值及极小值·必要条件273

135.充分条件·第一法则275

136.例题277

137.第二法则281

138.高阶导数的应用283

139.最大值及最小值的求法285

140.应用题287

2.凸(与凹)函数291

141.凸(与凹)函数的定义291

142.关于凸函数的简单命题292

143.函数凸性的条件295

144.颜森不等式及其应用298

145.拐点301

3.函数的作图303

146.问题的提出303

147.作图的步骤·例题304

148.无穷间断·无穷区间·渐近线307

149.例题310

4.不定式的定值法313

150.？型不定式313

151.？型不定式319

152.其他型的不定式321

5.方程式的近似解323

153.导言323

154.比例法则(弦线法)324

155.牛顿法则(切线法)327

156.例题及习题329

157.联合法334

158.例题及习题334